כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
נגזרות\fbox{\thepage}
1 הנגזרת
1.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
אנחנו רוצים לדבר על קצב השינוי של פונקציה כתלות בקלט שלה, לשם ההמחשה אדבר על גרף המתאר מיקום של מכונית הנוסעת על כביש ישר (חד-ממדי) - במקרה כזה קצב השינוי הוא מה שאנחנו קוראים לו מהירות - אם המכונית עברה \(180\) ק"מ ב-\(3\) שעות אנחנו אומרים שהמהירות הממוצעת שלה בשלוש השעות הללו הייתה \(60\) קמ"ש. למה אנחנו לא אומרים שהמהירות של המכונית ב-\(3\) השעות הללו הייתה \(60\) קמ"ש? אני חושב שהתשובה ברורה - ייתכן שהמהירות של המכונית השתנתה במהלך הנסיעה, אנחנו יודעים רק את המיקום שלה בשתי נקודות זמן המרוחקות זו מזו ב-\(3\) שעות. טוב, אז למה אנחנו מתכוונים כשאנחנו אומרים "מהירות"? אי אפשר לומר שכוונתנו למרחק שעברה המכונית בשעה אחת מפני שהבחירה ביחידת המידה "שעה" כדי למדוד זמן הייתה שרירותית. כאן אנחנו מגיעים לנקודה עדינה: מה שאנחנו מדברים עליו הוא מהירות רגעית - המהירות של המכונית בנקודת זמן אחת; לכאורה מדובר באוקסימורון, מהירות באה למדוד את קצב השינוי ושינוי יכול להתרחש רק בין שתי נקודות זמן שונות! ובכן, כעת אנחנו עוסקים במתמטיקה ולא במטאפיזיקה, לכן לא אענה על השאלה הזו1התחמקות יפה, נכון? הסיבה האמיתית לכך שלא אענה על השאלה היא שאין לי תשובה טובה. אבל אני כן רוצה לשכנע אתכם שאתם אכן מאמינים בקיומה של מהירות רגעית: אם נצייר את הגרף של מיקום המכונית כתלות בזמן אז השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת מעיד על קצב השינוי של המיקום כתלות בזמן בנקודה זו - ככל שהשיפוע גדול יותר אז המכונית תנוע מרחק גדול ביותר בזמן קצר יותר ולהפך, כמו כן אם השיפוע שלילי אז המכונית נוסעת אחורה. נקודה נוספת שמראה שאנחנו אכן מאמינים בקיום של מהירות רגעית מופיעה בסוף הפסקה הקודמת: שאלתי למה דיברנו על מהירות ממוצעת ועניתי שייתכן שהמהירות של המכונית יכולה להשתנות במהלך הנסיעה, אבל מהי אותה מהירות שיכולה להשתנות? היא לא יכולה להיות רק מהירות ממוצעת בפרקי זמן קצרים יותר מפני שתשובה זו מחזירה אותנו לאותה נקודה2אנחנו קוראים גם למהירות זו מהירות ממוצעת אלא שכעת אנו מדברים על פרקי זמן קצרים יותר., אין מנוס מלדבר על מהירות רגעית.
\(\clubsuit\)
כלומר \(\Delta_{f,a}\) מחזירה את השיפוע של הישר המוגדר ע"י הנקודות \(\left(a,f\left(a\right)\right)\) ו-\(\left(t,f\left(t\right)\right)\), בשפה של המכונית הפונקציה \(\Delta_{f,a}\) מחזירה את המהירות הממוצעת בין הנקודות \(t\) ו-\(a\).
\(\clubsuit\)
ניתן להגדיר באופן שקול ע"י \(\begin{alignedat}{1}\Delta_{f,a}\left(h\right):=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}\end{alignedat}
\) ואז בכל הגבולות שלהלן נצטרך לכתוב \(\begin{alignedat}{1}\lim_{h\rightarrow0}\end{alignedat}
\) במקום \(\begin{alignedat}{1}\lim_{t\rightarrow a}\end{alignedat}
\).
\(\clubsuit\)
צריך להסביר למה מדובר בפירמול של האינטואיציה.
\(\clubsuit\)
הגדרה זו היא הסיבה העיקרית לכך שהגדרנו את הגבול כך שאינו דורש שהפונקציה תהיה מוגדרת בנקודה אלא סביבה מנוקבת בלבד.
\(\clubsuit\)
אם פונקציה \(f\) גזירה על קטע3או סתם תת-קבוצה של \(\MKreal\). מסוים ניתן לדבר על פונקציית הנגזרת שלה \(f'\) באותו קטע, כמו כן אם \(f'\) מוגדרת בסביבה של \(a\) ניתן לדבר על הנגזרת השנייה של \(f\)בנקודה\(a\) שהיא הנגזרת של \(f'\) בנקודה \(a\), וכך לגבי נגזרת שלישית וכן הלאה.
סימון:
נסמן את הנגזרת ה-\(n\) של פונקציה \(f\) בנקודה \(a\) (אם קיימת כזו) ב-\(f^{\left(n\right)}\left(a\right)\), את הנגזרת השנייה מקובל לסמן גם ב-\(f''\left(a\right)\) וכמו כן מקובל לסמן \(f^{\left(0\right)}\left(a\right):=f\left(a\right)\).
הסכמה:
נאמר שפונקציה \(f\) גזירה ברציפות (בכלל או בתחום מסוים) אם \(f'\) רציפה (בכלל או באותו התחום), כמו כן נאמר שפונקציה \(f\) גזירה ברציפות \(n\) פעמים (בכלל או בתחום מסוים) אם \(f^{\left(i\right)}\)רציפה (בכלל או באותו התחום) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
תזכורת:
הסכמנו שבכל מקום שבו נכתב ביטוי מהצורה \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L\) או \(L=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) הכוונה היא שהגבול קיים ומתקיים השוויון אלא אם נאמר אחרת בפירוש; הסכמה זו תקפה גם לגבי נגזרות שהרי הן גבולות, בכל מקום שבו נטען שנגזרת מקיימת טענה אנו טוענים שהנגזרת קיימת ומקיימת את הטענה.
\(\clubsuit\)
מהגדרות אלו נובע כמעט מיד שפונקציה גזירה בנקודה אם"ם הנגזרות החד-צדדיות שלה בנקודה זו קיימות ושוות.
\(\clubsuit\)
נזהר שלא לבלבל בין \(f'\left(a^{\pm}\right)\) לבין \(\lim_{x\rightarrow a^{\pm}}f'\left(x\right)\).
\(\clubsuit\)
הישר \(mx+b\) הוא בעצם המשיק לגרף הפונקציה.
הגדרה 1.1. לכל פונקציה \(f:A\rightarrow B\) המוגדרת בסביבה של \(a\in\MKreal\), נגדיר את הפונקציה \(\Delta_{f,a}:A\setminus\left\{ a\right\} \rightarrow\MKreal\) כך (לכל \(a\neq t\in A\)):\[
\Delta_{f,a}\left(t\right):=\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}
\]
הגדרה 1.2. גזירות פונקציה בנקודה נאמר שפונקציה \(f\)גזירה בנקודה\(a\in\MKreal\) אם ל-\(\Delta_{f,a}\) יש גבול ב-\(a\), נסמן את הנגזרת של \(f\)בנקודה\(a\) ע"י:\[
f'\left(a\right):=\lim_{t\rightarrow a}\Delta_{f,a}\left(t\right)
\]
הגדרה 1.3. גזירות חד-צדדית של פונקציה בנקודה
נאמר שפונקציה \(f\)גזירה מימין בנקודה\(a\in\MKreal\) אם ל-\(\Delta_{f,a}\) יש גבול ימני ב-\(a\), נסמן את הנגזרת הימנית של \(f\)בנקודה\(a\) ע"י:\[
f'\left(a^{+}\right):=\lim_{t\rightarrow a^{+}}\Delta_{f,a}\left(t\right)
\]
נאמר שפונקציה \(f\)גזירה משמאל בנקודה\(a\in\MKreal\) אם ל-\(\Delta_{f,a}\) יש גבול שמאלי ב-\(a\), נסמן את הנגזרת השמאלית של \(f\)בנקודה\(a\) ע"י:\[
f'\left(a^{-}\right):=\lim_{t\rightarrow a^{-}}\Delta_{f,a}\left(t\right)
\]
הגדרה 1.4. פונקציה \(f\) תקרא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה בתחום הגדרתה, כמו כן \(f\) תקרא גזירה בקטע פתוח\(\left(a,b\right)\subseteq\MKreal\) אם לכל \(x\in\left(a,b\right)\) - \(f\) גזירה ב-\(x\).
\(\:\)
משפט 1.5. גזירות גוררת רציפות תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\), \(f\) גם רציפה ב-\(a\).
הוכחה. תהא \(U\subseteq\MKreal\) סביבה מנוקבת של \(a\) כך ש-\(f\) מוגדרת ב-\(U\), א"כ לכל \(t\in U\) מתקיים:\[
f\left(t\right)=f\left(a\right)+\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}\cdot\left(t-a\right)=f\left(a\right)+\Delta_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)
\]מאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\lim_{t\rightarrow a}f\left(t\right) & =\lim_{t\rightarrow a}\left(f\left(a\right)+\Delta_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)\\
& =\lim_{t\rightarrow a}\left(f\left(a\right)+f'\left(a\right)\cdot0\right)=f\left(a\right)
\end{align*}\]ומכאן שע"פ הגדרה \(f\) רציפה ב-\(a\).
משפט 1.6. 4משפט זה נלמד אצל יורם. תהא \(f\) פונקציה רציפה בנקודה \(a\in\MKreal\). \(f\) גזירה ב-\(a\) אם"ם קיימים \(m.d\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-\left(mx+d\right)}{x-a}=0
\]ובמקרה כזה מתקיים \(m=f'\left(a\right)\) ו-\(d=f\left(a\right)-f'\left(a\right)\cdot a\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) גזירה ב-\(a\).
\(\Leftarrow\) נבחר \(m:=f'\left(a\right)\) ו-\(d:=f\left(a\right)-f'\left(a\right)\cdot a\). א"כ לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(mx+d=f'\left(a\right)\cdot x+f\left(a\right)-f'\left(a\right)\cdot a=f\left(a\right)+f'\left(a\right)\cdot\left(x-a\right)\). מאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[\begin{align*}
0 & =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-f'\left(a\right)\right)\\
& =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-a}-\frac{f'\left(a\right)\left(x-a\right)}{x-a}\right)\\
& =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-\frac{f'\left(a\right)\left(x-a\right)}{x-a}\right)\\
& =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-\left(f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right)}{x-a}\right)\\
& =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-\left(f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right)}{x-a}\right)\\
& =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-\left(mx+d\right)}{x-a}\right)
\end{align*}\]
\(\Rightarrow\) נניח שקיימים \(m,d\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-\left(mx+d\right)}{x-a}=0
\]משאיפת המכנה ל-\(0\) כאשר \(x\) שואף ל-\(a\) נובע שגם המונה שואף ל-\(0\) כאשר \(x\) שואף ל-\(a\). מרציפות של \(f\) ב-\(a\) ומרציפות של כל פונקציה ליניארית נובע ש-\(f\left(a\right)=m\cdot a+d\).\[\begin{align*}
\Rightarrow0 & =\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-\left(mx+d\right)}{x-a}\right)=\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)-\left(mx+d\right)+f\left(a\right)}{x-a}\right)\\
& \lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-\frac{mx+d-f\left(a\right)}{x-a}\right)\\
& \lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-\frac{\left(mx+d\right)-\left(m\cdot a+d\right)}{x-a}\right)
\end{align*}\]מגזירת כל פונקציה ליניארית אנחנו יודעים שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left(mx+d\right)-\left(m\cdot a+d\right)}{x-a}=a
\]
ולכן, ע"פ אריתמטיקה של גבולות:\[
f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=m
\]
מסקנה 1.7. תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה \(a\in\MKreal\). \(f\) גזירה ב-\(a\) אם"ם קיים \(m\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-\left(m\cdot h+f\left(a\right)\right)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-\left(m\cdot\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-\left(mx+f\left(a\right)-m\cdot a\right)}{x-a}=0
\]ובמקרה כזה מתקיים \(m=f'\left(a\right)\).
טענה 1.8. תהא \(f:\left(-1,1\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה, אם קיים \(0<c\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in\left(-1,1\right)\) מתקיים \(\left|f\left(x\right)\right|\leq c\cdot x^{2}\) אז \(f\) גזירה ב-\(0\) ומתקיים \(f'\left(0\right)=0\).
הוכחה. יהי \(c\) כנ"ל, מכאן ש-\(\left|f\left(0\right)\right|\leq c\cdot0^{2}=0\) ולכן \(f\left(0\right)=0\) ובנוסף לכל \(0\neq x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\right|=\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{\left|x\right|}\leq\frac{c\cdot\left|x\right|^{2}}{\left|x\right|}=c\cdot\left|x\right|
\]ולכן גם:\[
-c\cdot\left|x\right|\leq\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\leq c\cdot\left|x\right|
\]וממשפט הכריך נקבל שמתקיים:\[
f'\left(0\right)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=0
\]
טענה 1.9. יהי \(0<a\in\MKreal\) ותהא \(f:\left(-a,a\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה.
אם \(f\) זוגית אז \(f'\) אי-זוגית.
אם \(f\) אי-זוגית אז \(f'\) זוגית.
הוכחה. יהי \(x_{0}\in\left(-a,a\right)\), מהגזירות של \(f\) ב-\(x_{0}\) נובע שהגבולות הבאים קיימים:\[
\lim_{x\rightarrow-x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{x-\left(-x_{0}\right)},\ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
\]
אם \(f\) זוגית אז לכל \(x_{0}\neq x\in\left(-a,a\right)\) מתקיים:\[
\frac{f\left(-x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{-x-\left(-x_{0}\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{-\left(x-x_{0}\right)}=-\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow f'\left(-x_{0}\right) & =\lim_{x\rightarrow-x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{x-\left(-x_{0}\right)}\\
& =\lim_{-x\rightarrow-x_{0}}\frac{f\left(-x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{\left(-x\right)-\left(-x_{0}\right)}\\
& =-\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-f'\left(x_{0}\right)
\end{align*}\]
אם \(f\) אי-זוגית אז לכל \(x_{0}\neq x\in\left(-a,a\right)\) מתקיים:\[
\frac{f\left(-x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{-x-\left(-x_{0}\right)}=\frac{-f\left(x\right)+f\left(x_{0}\right)}{-\left(x-x_{0}\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow f'\left(-x_{0}\right) & =\lim_{x\rightarrow-x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{x-\left(-x_{0}\right)}\\
& =\lim_{-x\rightarrow-x_{0}}\frac{f\left(-x\right)-f\left(-x_{0}\right)}{\left(-x\right)-\left(-x_{0}\right)}\\
& =\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=f'\left(x_{0}\right)
\end{align*}\]
2 כללי גזירה
2.1 הגדרות
טענה 2.1. תהא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה קבועה5קיים \(c\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(x\right)=c\) לכל \(x\in\MKreal\).; פונקציית הנגזרת \(f':\MKreal\rightarrow\MKreal\) היא פונקציית האפס, כלומר לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(f'\left(x\right)=0\).
טענה 2.2. לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\MKid'\left(x\right)=1\).
2.2 אריתמטיקה של גזירות
משפט 2.3. גזירת סכום של פונקציות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות בנקודה \(a\in\MKreal\), הנגזרת של \(f+g\) ב-\(a\) היא:\[
\left(f+g\right)'\left(a\right)=f'\left(a\right)+g'\left(a\right)
\]
הוכחה. נובע ישירות מאריתמטיקה של גבולות.
טענה 2.4. תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\), הנגזרת של \(c\cdot f\) ב-\(a\) (לכל \(c\in\MKreal\)) היא:\[
\left(c\cdot f\right)'\left(a\right)=c\cdot f'\left(a\right)
\]
הוכחה. נובע ישירות מאריתמטיקה של גבולות.
מסקנה 2.5. גזירה היא פעולה ליניארית לכל שתי פונקציות \(f\) ו-\(g\) גזירות בנקודה \(x\in\MKreal\) ולכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) מתקיים:\[
\left(\alpha\cdot f+\beta\cdot g\right)'\left(x\right)=\alpha\cdot f'\left(x\right)+\beta\cdot g'\left(x\right)
\]
משפט 2.6. כלל לייבניץ - גזירת מכפלה של פונקציות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות בנקודה \(a\in\MKreal\), הנגזרת של \(f\cdot g\) ב-\(a\) היא:\[
\left(f\cdot g\right)'\left(a\right)=f'\left(a\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot g'\left(a\right)
\]
\(\clubsuit\)
בניגוד לשני כללי הגזירה הקודמים שהיו אינטואיטיביים מאד (חישבו עליהם בצורה ויזואלית), כלל לייבניץ נראה מוזר מאד במבט ראשון, למה שזה יהיה נכון בכלל? בתחילה חשבתי להביא כאן איור שלי שמנסה להסביר את העניין, למזלי3blue1brownכבר עשה את העבודה ואני יכול להסתפק במתן קישור לסרטון המתאים.
הוכחה. מאריתמטיקה של גבולות ומרציפות של \(g\) ב-\(a\) נובע כי:\[\begin{align*}
\lim_{t\rightarrow a}\frac{f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)-f\left(a\right)\cdot g\left(a\right)}{t-a} & =\lim_{t\rightarrow a}\frac{f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)-f\left(a\right)\cdot g\left(t\right)+f\left(a\right)\cdot g\left(t\right)-f\left(a\right)\cdot g\left(a\right)}{t-a}\\
& =\lim_{t\rightarrow a}\frac{\left(f\left(t\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g\left(t\right)+f\left(a\right)\cdot\left(g\left(t\right)-g\left(a\right)\right)}{t-a}\\
& =\lim_{t\rightarrow a}\left(\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}\cdot g\left(t\right)\cdot\right)+f\left(a\right)\cdot\lim_{t\rightarrow a}\frac{g\left(t\right)-g\left(a\right)}{t-a}\\
& =f'\left(a\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot g'\left(a\right)
\end{align*}\]
משפט 2.7. תהא \(g\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\), אם \(g\left(a\right)\neq0\) אז הנגזרת של \(\frac{1}{g}\) ב-\(a\) היא:\[
\left(\frac{1}{g}\right)'\left(a\right)=-\frac{g'\left(a\right)}{g^{2}\left(a\right)}
\]
הוכחה. מאריתמטיקה של גבולות ומרציפות של \(g\) נובע כי:\[\begin{align*}
\lim_{t\rightarrow a}\frac{\frac{1}{g\left(t\right)}-\frac{1}{g\left(a\right)}}{t-a} & =\lim_{t\rightarrow a}\left(\frac{1}{t-a}\cdot\frac{g\left(a\right)-g\left(t\right)}{g\left(t\right)\cdot g\left(a\right)}\right)\\
& =\lim_{t\rightarrow a}\left(-\frac{g\left(t\right)-g\left(a\right)}{t-a}\right)\cdot\lim_{t\rightarrow a}\left(\frac{1}{g\left(t\right)\cdot g\left(a\right)}\right)\\
& =-\frac{g'\left(a\right)}{g^{2}\left(a\right)}
\end{align*}\]
מסקנה 2.8. גזירת מנה של פונקציות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות בנקודה \(a\in\MKreal\), אם \(g\left(a\right)\neq0\) אז הנגזרת של \(\frac{f}{g}\) ב-\(a\) היא:\[
\left(\frac{f}{g}\right)'\left(a\right)=\frac{f'\left(a\right)\cdot g\left(a\right)-f\left(a\right)\cdot g'\left(a\right)}{g^{2}\left(a\right)}
\]
2.3 כלל השרשרת וגזירה של פונקציה הופכית
משפט 2.9. כלל השרשרת - גזירת הרכבה של פונקציות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות כך ש-\(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) ו-\(g\) גזירה ב-\(f\left(a\right)\), הנגזרת של \(g\circ f\) ב-\(a\) היא:\[
\left(g\circ f\right)'\left(a\right)=g'\left(f\left(a\right)\right)\cdot f'\left(a\right)
\]
\(\clubsuit\)
לכאורה לא ברור מניין הגיעה הנוסחה הנ"ל, ננסה לתת מעט אינטואיציה. כל פונקציה ליניארית \(ax+b\) מעוותת את הישר הממשי בצורה הבאה: היא מותחת/מכווצת אותו פי \(a\) ומזיזה אותו ב-\(b\) יחידות ימינה, ההזזה ב-\(b\) אינה משנה דבר לנגזרת אבל ברור שאם ניקח גרף של פונקציה גזירה ונכווץ אותו פי \(a\) (שזה שקול להרכבה על פונקציה ליניארית כנ"ל) נקבל פונקציה דומה מאד שהשיפועים בין כל שתי נקודות בה גדולים/קטנים פי \(a\) מאלה של הפונקציה המקורית ולכן גם השיפועים של המשיקים לה בנקודות שונות יהיו גדולים/קטנים פי \(a\). פונקציות שאינן ליניאריות מעוותות גם הן את הישר הממשי ע"פ כלל ההתאמה שלהן אך מכיוון שקרוב מספיק לנקודה גזירה \(x\) הן מתנהגות "כמעט" כמו פונקציות ליניאריות ולכן שוב עלינו למתוח/לכווץ את הנגזרת פי \(f'\left(x\right)\). המחשה של העניין ניתן למצוא באותו סרטון של3blue1brownשהבאתי עבור כלל לייבניץ.
\(\clubsuit\)
האינטואיציה למשפט היא שהגרף של \(f^{-1}\) הוא שיקוף הגרף של \(f\) ביחס לאלכסון הראשי, כלומר כדי לקבל את הגרף של \(f^{-1}\) מהגרף של \(f\) כל שעלינו לעשות הוא להחליף בין השמות של הצירים; מסיבה זו השיפועים בין כל שתי נקודות (שהם תוצאת החלקה של הפרש ה-\(y\)-ים בהפרש ה-\(x\)-ים) הופכיים זה לזה וממילא גם שיפועי המשיקים.
הוכחה. נסמן ב-\(A\) וב-\(B\) את תחומי ההגדרה של \(f\) ו-\(g\) בהתאמה. תהא \(\psi:B\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in U\)):\[
\psi\left(x\right):=\begin{cases}
\frac{g\left(x\right)-g\left(f\left(a\right)\right)}{x-f\left(a\right)} & x\neq f\left(a\right)\\
g'\left(f\left(a\right)\right) & x=f\left(a\right)
\end{cases}
\]מכאן שלכל \(a\neq t\in A\) מתקיים:\[
\frac{g\left(f\left(t\right)\right)-g\left(f\left(a\right)\right)}{t-a}=\psi\left(f\left(t\right)\right)\cdot\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}
\]שהרי אם \(f\left(t\right)=f\left(a\right)\) שני האגפים מתאפסים. מאריתמטיקה של גבולות, מרציפות של \(\psi\) ב-\(f\left(a\right)\) וממשפט ההצבה בגבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{t\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(t\right)\right)-g\left(f\left(a\right)\right)}{t-a}=\lim_{t\rightarrow a}\psi\left(f\left(t\right)\right)\cdot\lim_{t\rightarrow a}\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}=g'\left(f\left(a\right)\right)\cdot f'\left(a\right)
\]
למה 2.10. תהא \(f\) פונקציה הפיכה, אם \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) וגם \(f^{-1}\) גזירה ב-\(b:=f\left(a\right)\) אז מכלל השרשרת נובע ש-\(\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(a\right)\right)\cdot f'\left(a\right)=\MKid'\left(a\right)=1\) ולכן:\[
\left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}=\frac{1}{f'\left(a\right)}
\]
מסקנה 2.11. תהא \(f\) פונקציה הפיכה, אם \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) ו-\(f'\left(a\right)=0\) אז \(f^{-1}\) אינה גזירה ב-\(f\left(a\right)\).
משפט 2.12. גזירת פונקציה הופכית תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה הפיכה, לכל \(b\in B\) כך ש-\(f\) גזירה ב-\(f^{-1}\left(b\right)\) וגם \(f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\neq0\) מתקיים:\[
\left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}
\]
הוכחה. יהי \(b\in B\) כך ש-\(f\) גזירה ב-\(f^{-1}\left(b\right)\) וגם \(f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\neq0\), ותהא \(\psi:A\rightarrow B\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in A\)):\[
\psi\left(x\right):=\begin{cases}
\frac{f\left(x\right)-f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}{x-f^{-1}\left(b\right)} & x\neq f^{-1}\left(b\right)\\
f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right) & x=f^{-1}\left(b\right)
\end{cases}
\]לכל \(b\neq t\in B\) מתקיים6\(t\neq b\) ולכן \(f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)-f\left(a\right)=t-b\neq0\).:\[
\frac{f^{-1}\left(t\right)-f^{-1}\left(b\right)}{t-b}=\frac{f^{-1}\left(t\right)-f^{-1}\left(b\right)}{f\left(f^{-1}\left(t\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}=\frac{1}{\psi\left(f^{-1}\left(t\right)\right)}
\]\(f\) גזירה ב-\(f^{-1}\left(b\right)\) ולכן גם רציפה בנקודה זו, מכאן שגם \(f^{-1}\) רציפה ב-\(b\). מרציפות של \(\psi\) ב-\(f^{-1}\left(b\right)\), ממשפט ההצבה בגבולות ומאריתמטיקה של רציפות נובע כי:\[
\lim_{t\rightarrow b}\frac{f^{-1}\left(t\right)-f^{-1}\left(b\right)}{t-b}=\frac{1}{\psi\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(b\right)\right)}
\]
2.4 הסתכלות אחרת על נגזרות
\(\clubsuit\)
נשים לב שאם פונקציה \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) אז לפונקציה \(\Delta_{f,a}\) יש נקודת אי-רציפות סליקה ב-\(a\), תובנה זו הובילה את המתמטיקאי קונסטנטין קרתיאודורי להסיק ש-\(f\) רציפה ב-\(a\) אם"ם קיים \(l\in\MKreal\) כך שהפונקציה \(\mathcal{S}_{f,a}:A\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(t\in A\)):\[
\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)=\begin{cases}
\Delta_{f,a}\left(t\right) & t\neq a\\
l & t=a
\end{cases}
\]רציפה ובמקרה כזה מתקיים \(f'\left(a\right)=\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)=l\).
\(\clubsuit\)
המשפט האחרון מקל עלינו בהוכחת כללי גזירה, להלן הוכחות חלופיות לכללי גזירה המסתמכות על המשפט הנ"ל.
משפט 2.13. אפיון לגזירות של פונקציה בנקודה פונקציה \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) אם"ם קיימת פונקציה \(\mathcal{S}_{f,a}\) רציפה ב-\(a\) כך שמתקיים \(f\left(t\right)=f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\) לכל \(t\) בסביבה כלשהי של \(a\), ואז מתקיים גם:\[
f'\left(a\right)=\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)
\]
\(\Rightarrow\) נניח שקיימת פונקציה \(\mathcal{S}_{f,a}\) רציפה ב-\(a\) כך שמתקיים \(f\left(t\right)=f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\) לכל \(t\) בסביבה \(U\) של \(a\), לכל \(a\neq t\in U\) מתקיים:\[
\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}
\]ולכן מהרציפות של \(\mathcal{S}_{f,a}\) ב-\(a\) נובע שמתקיים:\[
\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)=\lim_{t\rightarrow a}\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow a}\frac{f\left(t\right)-f\left(a\right)}{t-a}
\]מכאן שע"פ הגדרת הנגזרת \(f\) גזירה ב-\(a\) ומתקיים \(f'\left(a\right)=\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)\).
תהיינה \(f,g:\MKreal\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות ותהא \(a\in\MKreal\) נקודה.
הוכחה. גזירת סכום של פונקציות נניח ש-\(f\) ו-\(g\) גזירות ב-\(a\) ותהיינה \(\mathcal{S}_{f,a}\) ו-\(\mathcal{S}_{g,a}\) שתי פונקציות רציפות ב-\(a\) המקיימות (לכל \(t\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
f\left(t\right) & =f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\\
g\left(t\right) & =g\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)
\end{align*}\]לכל \(t\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(f+g\right)\left(t\right) & =f\left(t\right)+g\left(t\right)=\left(f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)+\left(g\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)\\
& =f\left(a\right)+g\left(a\right)+\left(\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\right)\cdot\left(t-a\right)
\end{align*}\]א"כ תהא \(\mathcal{S}_{f+g,a}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\MKreal\)):\[
\mathcal{S}_{f+g,a}\left(t\right):=\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)
\]מאריתמטיקה של רציפות זוהי פונקציה רציפה ולכן מהמשפט נובע כי:\[
\mathcal{S}_{f+g,a}\left(a\right)=\left(f+g\right)'\left(a\right)
\]ואכן:\[
\mathcal{S}_{f+g,a}\left(a\right)=\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(a\right)=f'\left(a\right)+g'\left(a\right)
\]
הוכחה. כלל לייבניץ - גזירת מכפלה של פונקציות נניח ש-\(f\) ו-\(g\) גזירות ב-\(a\) ותהיינה \(\mathcal{S}_{f,a}\) ו-\(\mathcal{S}_{g,a}\) שתי פונקציות רציפות ב-\(a\) המקיימות (לכל \(t\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
f\left(t\right) & =f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\\
g\left(t\right) & =g\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)
\end{align*}\]לכל \(t\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(f\cdot g\right)\left(t\right) & =f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)\\
& =\left(f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)\cdot\left(g\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)\\
& =f\left(a\right)\cdot g\left(a\right)+\left(\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\right)\cdot\left(t-a\right)
\end{align*}\]א"כ תהא \(\mathcal{S}_{f\cdot g,a}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\MKreal\)):\[
\mathcal{S}_{f\cdot g,a}\left(t\right):=\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)
\]מאריתמטיקה של רציפות זוהי פונקציה רציפה ולכן מהמשפט נובע כי:\[
\mathcal{S}_{f\cdot g,a}\left(a\right)=\left(f\cdot g\right)'\left(a\right)
\]ואכן:\[\begin{align*}
\mathcal{S}_{f\cdot g,a}\left(a\right) & =\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)\cdot\mathcal{S}_{g,a}\left(a\right)\cdot\left(a-a\right)\\
& =f'\left(a\right)\cdot g\left(a\right)+f\left(a\right)\cdot g'\left(a\right)
\end{align*}\]
הוכחה. כלל השרשרת - גזירת הרכבה של פוקנציות נניח ש-\(f\) גזירה ב-\(a\) ו-\(g\) גזירה ב-\(f\left(a\right)\), ותהיינה \(\mathcal{S}_{f,a}\) ו-\(\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\) שתי פונקציות רציפות ב-\(a\) וב-\(f\left(a\right)\) בהתאמה כך שמתקיים (לכל \(t\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
f\left(t\right) & =f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)\\
g\left(t\right) & =g\left(f\left(a\right)\right)+\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(t\right)\cdot\left(t-f\left(a\right)\right)
\end{align*}\]לכל \(t\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(g\circ f\right)\left(t\right) & =g\left(f\left(a\right)\right)+\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(f\left(t\right)\right)\cdot\left(f\left(t\right)-f\left(a\right)\right)\\
& =g\left(f\left(a\right)\right)+\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(f\left(t\right)\right)\cdot\left(f\left(a\right)+\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)-f\left(a\right)\right)\\
& =g\left(f\left(a\right)\right)+\left(\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(f\left(t\right)\right)\cdot\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)\right)\cdot\left(t-a\right)
\end{align*}\]א"כ תהא \(\mathcal{S}_{g\circ f,a}\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\MKreal\)):\[
\mathcal{S}_{g\circ f,a}\left(t\right):=\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(f\left(t\right)\right)\cdot\mathcal{S}_{f,a}\left(t\right)
\]מאריתמטיקה של רציפות וממשפט ההצבה בגבולות זוהי פונקציה רציפה ולכן מהמשפט נובע כי:\[
\mathcal{S}_{g\circ f,a}\left(a\right)=\left(g\circ f\right)'\left(a\right)
\]ואכן:\[
\mathcal{S}_{g\circ f,a}\left(a\right)=\mathcal{S}_{g,f\left(a\right)}\left(f\left(a\right)\right)\cdot\mathcal{S}_{f,a}\left(a\right)=g'\left(f\left(a\right)\right)\cdot f'\left(a\right)
\]
הוכחה. גזירת מנה של פונקציות תהא \(h:\MKreal\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(h\left(x\right):=\frac{1}{x}\) (לכל \(0\neq x\in\MKreal\)) ותהא \(0\neq b\in\MKreal\) נקודה. תהא \(\mathcal{S}_{h,b}:\MKreal\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(0\neq t\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
\mathcal{S}_{h,b}\left(t\right) & :=\begin{cases}
\frac{h\left(t\right)-h\left(b\right)}{t-b} & t\neq b\\
-\frac{1}{b^{2}} & t=b
\end{cases}=\begin{cases}
\frac{\frac{1}{t}-\frac{1}{b}}{t-b} & t\neq b\\
-\frac{1}{b^{2}} & t=b
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
\frac{1}{t-b}\cdot\frac{b-t}{t\cdot b} & t\neq b\\
-\frac{1}{b^{2}} & t=b
\end{cases}=\begin{cases}
-\frac{1}{t\cdot b} & t\neq b\\
-\frac{1}{b^{2}} & t=b
\end{cases}
\end{align*}\]מאריתמטיקה של גבולות נקבל:\[
\lim_{t\rightarrow b}\mathcal{S}_{h,b}\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow a}\left(-\frac{1}{t\cdot b}\right)=-\frac{1}{b^{2}}=\mathcal{S}_{h,b}\left(b\right)
\]ולכן \(\mathcal{S}_{h,b}\) רציפה ב-\(b\). מהגדרה, לכל \(0\neq t\in\MKreal\) מתקיים \(h\left(t\right)=h\left(b\right)+\mathcal{S}_{h,b}\left(t\right)\cdot\left(t-b\right)\) ומכאן שע"פ המשפט מתקיים:\[
\mathcal{S}_{h,b}\left(b\right)=h'\left(b\right)
\]\(b\) הנ"ל הייתה שרירותית ולכן הנ"ל נכון לכל \(0\neq b\in\MKreal\). נניח ש-\(g\) גזירה ב-\(a\) וגם \(g\left(a\right)\neq0\), ותהא \(\mathcal{S}_{g,a}\) שתי פונקציה רציפה ב-\(a\) המקיימת (לכל \(t\in\MKreal\)):\[
g\left(t\right)=g\left(a\right)+\mathcal{S}_{g,a}\left(t\right)\cdot\left(t-a\right)
\]ממה שהוכחנו לעיל ומהכלל השרשרת נובע שמתקיים:\[
\left(\frac{1}{g}\right)'\left(a\right)=\left(h\circ g\right)'\left(a\right)=h'\left(g\left(a\right)\right)\cdot g'\left(a\right)=-\frac{g'\left(a\right)}{g^{2}\left(a\right)}
\]ולכן מכלל לייבניץ נובע שאם \(f\) גזירה ב-\(a\) אז:\[
\left(\frac{f}{g}\right)'\left(a\right)=\frac{f'\left(a\right)\cdot g\left(a\right)-f\left(a\right)\cdot g'\left(a\right)}{g^{2}\left(a\right)}
\]
3 נגזרות של פונקציות אלמנטריות
3.1 הגדרות
אין הגדרות בפרקים אלו.
3.2 נגזרות של פולינומים (נגזרות במעריך טבעי)
טענה 3.1. יהיו \(a,b\in\MKreal\) ותהא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=ax+b\) לכל \(x\in\MKreal\) (פונקציה ליניארית), מתקיים \(f'\left(x\right)=a\) לכל \(x\in\MKreal\).
טענה 3.2. יהי \(n\in\MKnatural\) ותהא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=x^{n}\) לכל \(x\in\MKreal\), מתקיים \(f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}\) לכל \(x\in\MKreal\).
הוכחה. הוכחה 1 - באמצעות נוסחת הכפל המקוצר לכל \(x\neq t\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{{\color{red}t^{n}-x^{n}}}{{\color{blue}t-x}}={\color{blue}\frac{1}{t-x}}\cdot{\color{red}\left(t-x\right)\cdot\sum_{k=0}^{n-1}t^{k}\cdot x^{n-1-k}}=\sum_{k=0}^{n-1}t^{k}\cdot x^{n-1-k}
\]מרציפות של כל פולינום נובע שמתקיים:\[
f'\left(x\right)=\lim_{t\rightarrow x}\frac{t^{n}-x^{n}}{t-x}=\lim_{t\rightarrow x}\sum_{k=0}^{n-1}t^{k}\cdot x^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}\cdot x^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1}=n\cdot x^{n-1}
\]
הוכחה. הוכחה 2 - באמצעות כלל לייבניץ ואינדוקציה בסיס האינדוקציה (עבור \(n=1\)) הוכח כבר בטענה הקודמת (3.1) ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה. נניח שהטענה אכן מתקיימת עבור \(n-1\), לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(f\left(x\right)=x^{n-1}\cdot x\) ולכן מכלל לייבניץ ומבסיס האינדוקציה נובע שגם:\[
f'\left(x\right)=\left(n-1\right)\cdot x^{n-2}\cdot x+1\cdot x^{n-1}=n\cdot x^{n-1}
\]
כדי שהטענה והמסקנה האחרונות תהיינה נכונה עבור \(x=0\) ו-\(n=1\) עלינו להגדיר \(0^{0}:=1\) (למרות שניתן גם להגדיר \(0^{0}:=0\) מבלי לקבל סתירה לאקסיומות השדה), הדבר תלוי במוסכמה ובהקשר.
3.3 נגזרות במעריך רציונלי
טענה 3.4. יהי \(m\in\MKinteger\) ותהא \(f:\MKreal\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=x^{m}\) לכל \(0\neq x\in\MKreal\), מתקיים \(f'\left(x\right)=m\cdot x^{m-1}\) לכל \(0\neq x\in\MKreal\).
הוכחה. אם \(0<m\) אז \(m\in\MKnatural\) וכבר הוכחנו את הטענה עבור שלמים הטבעיים (טענה 3.2), אם \(m=0\) אז מדובר במקרה פרטי של טענה 3.1, א"כ נשארו לנו המקרה שבו \(m<0\). נניח ש-\(m<0\) ותהא \(g:\MKreal\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=x^{-m}\) לכל \(x\in\MKreal\), מהטענה הקודמת (3.2) נובע שלכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(g'\left(x\right)=-m\cdot x^{-m-1}\). מכלל הגזירה למנה (או ממשפט 2.7) נובע כי לכל \(0\neq x\in\MKreal\) מתקיים:\[
f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{g}\right)'\left(x\right)=-\frac{g'\left(x\right)}{g^{2}\left(x\right)}=-\frac{-m\cdot x^{-m-1}}{x^{-2m}}=m\cdot x^{m-1}
\]
טענה 3.5. יהי \(n\in\MKnatural\) ותהא \(f:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\) לכל \(x\in\left(0,\infty\right)\), מתקיים (לכל \(0<x\in\MKreal\)):\[
f'\left(x\right)=\frac{1}{n}\cdot x^{\left(\frac{1}{n}-1\right)}=\frac{1}{n}\cdot x^{-\left(\frac{n-1}{n}\right)}
\]
הוכחה. תהא \(g:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=x^{n}\), ראינו בטענה 3.2 שלכל \(x\in\left(0,\infty\right)\) מתקיים \(g'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}\neq0\). נשים לב לכך שלכל \(x\in\left(0,\infty\right)\) מתקיים \(g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=x\), כלומר \(f\) ו-\(g\) הופכיות זו לזו, מכאן שע"פ כלל הגזירה לפונקציה הופכית לכל \(x\in\left(0,\infty\right)\) מתקיים:\[
f'\left(x\right)=\frac{1}{g'\left(f\left(x\right)\right)}=\frac{1}{n\cdot\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{n-1}}=\frac{1}{n\cdot x^{\frac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n}\cdot x^{-\left(\frac{n-1}{n}\right)}=\frac{1}{n}\cdot x^{\left(\frac{1}{n}-1\right)}
\]
מסקנה 3.6. יהי \(q\in\MKrational\) ותהא \(f:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=x^{q}\) לכל \(x\in\left(0,\infty\right)\), מתקיים (לכל \(0<x\in\MKreal\)):\[
f'\left(x\right)=q\cdot x^{q-1}
\]
הוכחה. יהיו \(n\in\MKnatural\) ו-\(m\in\MKinteger\) כך ש-\(\frac{m}{n}=q\), א"כ לכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים \(f\left(x\right)=x^{\frac{m}{n}}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) ולכן מכלל השרשרת נובע שלכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[
f'\left(x\right)=m\cdot\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\cdot\frac{1}{n}\cdot x^{-\left(\frac{n-1}{n}\right)}=\frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m-1}{n}}\cdot x^{-\left(\frac{n-1}{n}\right)}=\frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m-n}{n}}=q\cdot x^{q-1}
\]
3.4 נגזרות במעריך ממשי, של פונקציות מעריכיות ושל לוגריתמים
למה 3.7. לכל \(x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\) מתקיים \(1+x-2x^{2}\leq\exp\left(x\right)\leq1+x+2x^{2}\).
הוכחה. מהבינום של ניוטון נובע שלכל \(x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\) ולכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{k}}{n^{k}}=1+x+\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{k}}{n^{k}}\leq1+x+\sum_{k=2}^{n}\frac{x^{2}}{k!}\\
& \leq1+x+\sum_{k=2}^{n}\frac{x^{2}}{2^{k}}=1+x+x^{2}\cdot\left(\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right)\leq1+x+2x^{2}
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{k}}{n^{k}}=1+x+\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{k}}{n^{k}}\geq1+x-\left|\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{k}}{n^{k}}\right|\\
& \geq1+x-\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{\left|x\right|^{k}}{n^{k}}\geq1+x-\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n\\
k
\end{pmatrix}\cdot\frac{x^{2}}{k!}\\
& \geq1+x-\sum_{k=2}^{n}\frac{x^{2}}{2^{k}}=1+x-x^{2}\cdot\left(\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right)\geq1+x-2x^{2}
\end{align*}\]מכאן שמתקיים:\[
1+x-2x^{2}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\leq1+x+2x^{2}
\]כלומר:\[
1+x-2x^{2}\leq\exp\left(x\right)\leq1+x+2x^{2}
\]
טענה 3.8. \(\exp\) גזירה ב-\(0\) ומתקיים \(\exp'\left(0\right)=1\).
הוכחה. לכל \(0\neq x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{\exp\left(x\right)-\exp\left(0\right)}{x-0}=\frac{\exp\left(x\right)-1}{x}
\]ולכן לכל \(0\neq x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\) מתקיים:\[
1\mp2x=\frac{1+x\mp2x^{2}-1}{x}\leq\frac{\exp\left(x\right)-\exp\left(0\right)}{x-0}\leq\frac{1+x\pm2x^{2}-1}{x}=1\pm2x
\]וממשפט הכריך נובע כי:\[
\exp'\left(0\right)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\exp\left(x\right)-\exp\left(0\right)}{x-0}=1
\]
טענה 3.9. \(\exp\) גזירה בכל מקום ולכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\exp'\left(x\right)=\exp\left(x\right)\).
הוכחה. יהי \(x\in\MKreal\), לכל \(x\neq t\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{\exp\left(t\right)-\exp\left(x\right)}{t-x}=\exp\left(x\right)\cdot\frac{\exp\left(t-x\right)-1}{t-x}
\]מאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[\begin{align*}
\exp'\left(x\right) & =\lim_{t\rightarrow x}\frac{\exp\left(t\right)-\exp\left(x\right)}{t-x}=\exp\left(x\right)\cdot\lim_{t\rightarrow x}\frac{\exp\left(t-x\right)-1}{t-x}\\
& =\exp\left(x\right)\cdot\lim_{t\rightarrow0}\frac{\exp\left(t\right)-1}{t}=\exp\left(x\right)\cdot1=\exp\left(x\right)
\end{align*}\]
מסקנה 3.10. יהי \(0<a\in\MKreal\) ותהא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=a^{x}\), מתקיים (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f'\left(x\right)=\ln\left(a\right)\cdot a^{x}
\]
טענה 3.11. לכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים \(\ln'\left(x\right)=\frac{1}{x}\).
הוכחה. מכלל כגזירה לפונקציה הופכית נובע כי לכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\ln'\left(x\right)=\frac{1}{\exp'\left(\ln\left(x\right)\right)}=\frac{1}{\exp\left(\ln\left(x\right)\right)}=\frac{1}{x}
\]
מסקנה 3.13. יהי \(\alpha\in\MKreal\) ותהא \(f:\left(0,\infty\right)\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=x^{\alpha}\) לכל \(0<x\in\MKreal\), מתקיים (לכל \(0<x\in\MKreal\)):\[
f'\left(x\right)=\alpha\cdot x^{\alpha-1}
\]
הוכחה. אם \(\alpha=1\) אז הטענה טריוויאלית, על כן נעסוק במקרה שבו \(\alpha\neq1\). מהגדרה, לכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים:\[
f\left(x\right)=\exp\left(\alpha\cdot\ln\left(x\right)\right)
\]ומכאן שע"פ כלל השרשרת לכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
f'\left(x\right) & =\exp'\left(\alpha\cdot\ln\left(x\right)\right)\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha\cdot\frac{1}{x}\cdot\exp\left(\alpha\cdot\ln\left(x\right)\right)\\
& =\alpha\cdot\frac{1}{x}\cdot x^{\alpha}=\alpha\cdot x^{\alpha-1}
\end{align*}\]
3.5 הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות
טענה 3.14. לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\sin'\left(x\right)=\cos\left(x\right)\).
הוכחה. יהי \(x\in\MKreal\), לכל \(x\neq t\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{\sin\left(t\right)-\sin\left(x\right)}{t-x}=\frac{2\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{t+x}{2}\right)}{2\cdot\left(\frac{t-x}{2}\right)}=\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{t+x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}
\]וכמו כן גם:\[
\lim_{t\rightarrow x}\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin\left(h\right)}{h}=1
\]ולכן מרציפות של \(\cos\), ממשפט ההצבה בגבולות ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[\begin{align*}
\sin'\left(x\right) & =\lim_{t\rightarrow x}\frac{\sin\left(t\right)-\sin\left(x\right)}{t-x}=\lim_{t\rightarrow x}\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{t+x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}\\
& =\lim_{t\rightarrow x}\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}\cdot\lim_{t\rightarrow x}\cos\left(\frac{t+x}{2}\right)=1\cdot\cos\left(\frac{x+x}{2}\right)=\cos\left(x\right)
\end{align*}\]
מסקנה 3.15. לכל \(x\in\left(-1,1\right)\) מתקיים:\[
\arcsin'\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(\arcsin\left(x\right)\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
טענה 3.16. לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\cos'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\).
הוכחה. יהי \(x\in\MKreal\), לכל \(t\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{\cos\left(t\right)-\cos\left(x\right)}{t-x}=\frac{-2\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{t+x}{2}\right)}{2\cdot\left(\frac{t-x}{2}\right)}=-\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{t+x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}
\]ושוב מרציפות של \(\sin\), ממשפט ההצבה בגבולות ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[\begin{align*}
\cos'\left(x\right) & =\lim_{t\rightarrow x}\frac{\cos\left(t\right)-\cos\left(x\right)}{t-x}=-\lim_{t\rightarrow x}\frac{\sin\left(\frac{t-x}{2}\right)}{\frac{t-x}{2}}\cdot\lim_{t\rightarrow x}\sin\left(\frac{t+x}{2}\right)\\
& =-1\cdot\sin\left(\frac{x+x}{2}\right)=-\sin\left(x\right)
\end{align*}\]
מסקנה 3.17. לכל \(x\in\left(-1,1\right)\) מתקיים:\[
\arccos'\left(x\right)=\frac{1}{-\sin\left(\arccos\left(x\right)\right)}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
מסקנה 3.18. לכל \(x\in\MKreal\) כך ש-\(\cos\left(x\right)\neq0\) מתקיים:\[
\tan'\left(x\right)=\frac{\cos^{2}\left(x\right)-\left(-\sin\left(x\right)\right)\cdot\sin\left(x\right)}{\cos^{2}\left(x\right)}=\frac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}
\]
הגדרה 4.1. קמירות וקעירות9הגדרה זו והבאה אחריה נלמדו באינפי'2(יורם לסט, סמסטר א' תשפ"ג).
\(f\) תקרא קמורה בקטע\(I\subseteq D\) אם לכל \(a,b\in I\) ולכל \(t\in\left[0,1\right]\) מתקיים \(f\left(t\cdot a+\left(1-t\right)\cdot b\right)\leq t\cdot f\left(a\right)+\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right)\).
\(f\) תקרא קעורה בקטע\(I\subseteq D\) אם לכל \(a,b\in I\) ולכל \(t\in\left[0,1\right]\) מתקיים \(f\left(t\cdot a+\left(1-t\right)\cdot b\right)\geq t\cdot f\left(a\right)+\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right)\).
\(\clubsuit\)
הרעיון מאחורי הפירמול הוא שגרף הפונקציה נמצא מעל/מתחת לישר המחבר בין \(f\left(a\right)\) ל-\(f\left(b\right)\)10בניגוד למה שהיה ניתן לצפות, פונקציה היא קמורה אם גרף הפונקציה נמצא מתחת לישר המחבר בין הנקודה \(\left(a,f\left(a\right)\right)\) (במישור הקרטזי) לנקודה \(\left(b,f\left(b\right)\right)\) וקעורה אם הוא נמצא מעל לישר, הסיבה לכך היא שמה שמעניין מתמטיקאים הוא האם קבוצת הנקודות שמעל הגרף היא קבוצה קמורה/קעורה.. נסמן \(x=b+t\cdot\left(a-b\right)\) נשים לב שמתקיים:\[\begin{align*}
t\cdot f\left(a\right)+\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right) & =f\left(b\right)+\left(f\left(a\right)-f\left(b\right)\right)\cdot t\\
& =f\left(b\right)+\frac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}\cdot\left(x-b\right)
\end{align*}\] ולכן זוהי המשוואה של הישר המחבר, ומתקיים:\[\begin{align*}
f\left(t\cdot a+\left(1-t\right)\cdot b\right) & =f\left(b+\left(a-b\right)\cdot t\right)\\
& =f\left(x\right)
\end{align*}\]ולכן זהו גרף הפונקציה בנקודה המתאימה.
\(\clubsuit\)
הסיבה לכך שההגדרה הנ"ל היא המקובלת ולא זו שתוארה בהערה הקודמת היא שאנו רוצים להגדיר קמירות וקעירות גם עבור פונקציות במספר משתנים (\(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{m}\)) וב-\(\MKreal^{n}\) אי אפשר להציג ישר באמצעות משוואה בודדת (כאשר \(n>1\)), לעומת זאת ההגדרה הנ"ל תקפה גם ב-\(\MKreal^{n}\) אלא שאז \(a\) ו-\(b\) אינם מספרים ממשיים אלא וקטורים ב-\(\MKreal^{n}\).
\(\clubsuit\)
נשים לב שפונקציה יכולה להיות גם קמורה וגם קעורה על אותו קטע שהרי מדובר בא"ש חלש, במקרה כזה הפונקציה בהכרח ליניארית על אותו קטע.
\(\clubsuit\)
באופן כללי זה אומר שנקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה מחליפה בין קמירות לקעירות, צריך רק לשים לב שזה לא אומר בהכרח שהפונקציה מפסיקה את הקמירות/הקעירות שהיתה קודם אלא רק מוסיפה את מה שאח"כ (לדוגמה בפונקציות ליניאריות כל הנקודות הן נקודות פיתול כאלה).
\(\clubsuit\)
בקובץ הטענות נראה שהנגזרת (אם היא קיימת) מתאפסת בנקודות קיצון ולכן הנקודות החשודות להיות נקודות קיצון של פונקציה הן: נקודות קריטיות, נקודות סינגולריות ונקודות קצה.
הגדרה 4.2. נקודת פיתול נקודה \(a\in D\) תקרא נקודת פיתול של \(f\) אם היא נקודה פנימית של \(D\) וקיים \(0<h\in\MKreal\) כך ש-\(f\) קמורה ב-\(\left(a-h,a\right)\) וקעורה ב-\(\left(a,a+h\right)\) או ש-\(f\) קעורה ב-\(\left(a-h,a\right)\) וקמורה ב-\(\left(a,a+h\right)\).
הגדרה 4.3. תהא \(f\) פונקציה, נקודה \(a\in A\) תקרא נקודה קריטית של \(f\) אם \(f'\left(a\right)=0\), \(f\left(a\right)\) יקרא ערך קריטי.
הגדרה 4.4. תהא \(f\) פונקציה, נקודה \(a\in\MKreal\) תקרא נקודה סינגולרית11הגדרה זו נלמדה באינפי'2(יורם לסט, סמסטר א' תשפ"ג). אם \(f\) אינה גזירה ב-\(a\).
4.2 התחלה: משפט פרמה ומשפט רול
טענה 4.5. תהא \(f\) פונקציה, אם \(x\in\MKreal\) היא נקודת קיצון של \(f\) ו-\(f\) גזירה ב-\(x\) אז \(f'\left(x\right)=0\).
הוכחה. נניח בהג"כ ש-\(x\) היא נקודת מינימום של \(f\) וש-\(f\) גזירה ב-\(x\), א"כ \(f\) מוגדרת בסביבה \(U\) של \(x\). מהגדרה, לכל \(x>t\in U\) מתקיים:\[
\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}\leq0
\]\[
\Rightarrow\lim_{t\rightarrow x^{-}}\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}\leq0
\]כמו כן, לכל \(x<t\in\MKreal\) מתקיים:\[
\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}\geq0
\]\[
\Rightarrow\lim_{t\rightarrow x^{+}}\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}\geq0
\]ולכן בהכרח:\[
0\leq\lim_{t\rightarrow x}\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}\leq0
\]כלומר:\[
f'\left(x\right)=\lim_{t\rightarrow x}\frac{f\left(t\right)-f\left(x\right)}{t-x}=0
\]
מסקנה 4.6. משפט פרמה אם \(a\in\MKreal\) היא נקודת קיצון (מקסימום/מינימום) מקומית של פונקציה \(f\) ו-\(f\) גזירה ב-\(a\) אז \(f'\left(a\right)=0\).
\(\clubsuit\)
ממשפט פרמה נובע שכל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, זו כמובן הסיבה להגדרה של נקודות קריטיות ככאלה שבהן הנגזרת מתאפסת.
\(\clubsuit\)
משפט פרמה נכון גם עבור נגזרות חד-צדדיות.
משפט 4.7. משפט רול12ערך בוויקיפדיה: מישל רול. תהא \(f\) פונקציה רציפה בקטע סגור \(\left[a,b\right]\) וגזירה בקטע \(\left(a,b\right)\), אם \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\) אז קיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) כך ש-\(f'\left(c\right)=0\).
הוכחה. מעקרון המקסימום והמינימום של ויירשטראס נובע שיש ל-\(f\) נקודת מקסימום ונקודת מינימום ב-\(\left[a,b\right]\), אם אחת מהן נמצאת גם ב-\(\left(a,b\right)\) אז סיימנו, אחרת לפחות אחת משתי נקודות הקצה (\(a\) ו-\(b\)) היא נקודת מינימום ולפחות אחת מהן היא נקודת מקסימום ולכן אם נניח ש-\(f\left(a\right)=f\left(b\right)\) נקבל שלכל \(x\in\left[a,b\right]\) מתקיים:\[\begin{align*}
f\left(x\right) & \leq f\left(a\right)=f\left(b\right)\\
f\left(x\right) & \geq f\left(a\right)=f\left(b\right)
\end{align*}\]כלומר \(f\left(x\right)=f\left(a\right)=f\left(b\right)\) ומכאן שלכל \(c\in\left(a,b\right)\) ולכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(f\left(c\right)=f\left(a\right)\geq f\left(x\right)\) ועל כן \(c\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) ב-\(\left[a,b\right]\) וממשפט פרמה נובע ש-\(f'\left(c\right)=0\).
מסקנה 4.8. יהי \(p\in\MKreal\left[x\right]\) פולינום מדרגה \(n\in\MKnatural\), ל-\(p\) יש לכל היותר \(n\) שורשים שונים, כלומר \(\left|\left\{ x\in\MKreal\mid p\left(x\right)=0\right\} \right|\leq n\).
הוכחה. נוכיח את המסקנה באינדוקציה. בסיס האינדוקציה לכל פולינום \(q\in\MKreal\left[x\right]\) מדרגה \(1\) קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(q\left(x\right)=ax+b\) ו-\(a\neq0\) ומכאן שלכל \(x\in\MKreal\) המקיים \(q\left(x\right)=ax+b=0\) מתקיים \(x=-\frac{b}{a}\), כלומר אם קיים \(x\) כזה אז הוא יחיד. צעד האינדוקציה יהי \(n\in\MKnatural\) ונניח שלכל פולינום מדרגה \(n\) יש לכל היותר \(n\) שורשים. יהי \(q\in\MKreal\left[x\right]\) פולינום מדרגה \(n+1\), נניח בשלילה שיש ל-\(q\) לפחות \(n+2\) שורשים שונים ויהיו \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\in\MKreal\) השורשים הללו כך ש-\(x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}\). ממשפט רול נובע שלכל \(n+1\geq k\in\MKnatural\) קיים \(c_{k}\in\left(x_{k},x_{k+1}\right)\) כך ש-\(q'\left(c_{k}\right)=0\), יהיו \(c_{1},c_{2},\ldots,c_{n+1}\in\MKreal\) כנ"ל. מהגדרה, לכל \(n+1\geq j,k\in\MKnatural\) כך ש-\(j<k\) מתקיים \(c_{j}<x_{j+1}\leq x_{k}<c_{k}\) ובפרט \(c_{j}\neq c_{k}\), כלומר \(\left|\left\{ c_{1},c_{2},\ldots,c_{n+1}\right\} \right|=n+1\). הקבוצה הנ"ל היא קבוצה של שורשים של פולינום הנגזרת \(q'\) אך כפי שראינו בפרק הקודם פולינום הנגזרת הוא פולינום שדרגתו שווה לדרגת הפולינום המקורי פחות \(1\), כלומר \(\deg q'=n\), וזאת בסתירה להנחת האינדוקציה האומרת של-\(q'\) יש לכל היותר \(n\) שורשים שונים. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-ל\(q\) יש לכל היותר \(n+1\) שורשים שונים.
4.3 משפט הערך הממוצע של לגראנז'
משפט 4.9. משפט הערך הממוצע של לגראנז'13ערך בוויקיפדיה: ז'וזף-לואי לגראנז'. תהא \(f\) פונקציה רציפה בקטע סגור \(\left[a,b\right]\) וגזירה בקטע \(\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) המקיימת:\[
f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
\]
הוכחה. תהא \(g:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\left[a,b\right]\)):\[
g\left(x\right):=f\left(x\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\cdot\left(x-a\right)
\]מאריתמטיקה של גזירות ורציפות נובע ש-\(g\) רציפה ב-\(\left[a,b\right]\) וגזירה ב-\(\left(a,b\right)\) וכמו כן מתקיים גם:\[\begin{align*}
g\left(a\right) & =f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\cdot\left(a-a\right)=f\left(a\right)\\
g\left(b\right) & =f\left(b\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\cdot\left(b-a\right)=f\left(a\right)
\end{align*}\]ולכן ממשפט רול נובע שקיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) המקיימת:\[
0=g'\left(c\right)=f'\left(c\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\cdot1
\]ומכאן שעבור אותה \(c\) מתקיים:\[
f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
\]
מסקנה 4.10. תהא \(f:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה, אם \(f'\left(x\right)=0\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\) אז \(f\) היא פונקציה קבועה.
מסקנה 4.11. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות המוגדרות על קטע פתוח14או על קרן פתוחה/כל הישר.\(I\) וגזירות ב-\(I\), אם \(f'\left(x\right)=g'\left(x\right)\) לכל \(x\) בקטע אז קיים \(C\in\MKreal\) כך ש-\(f=g+C\).
מסקנה 4.12. תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה גזירה, אם \(f'\) היא פונקציה קבועה אז קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(x\right)=ax+b\) לכל \(x\in A\), כלומר \(f\) היא פונקציה ליניארית.
אם \(f'\left(x\right)\geq0\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\) אז \(f\) מונוטונית עולה ב-\(\left[a,b\right]\).
אם \(f'\left(x\right)\geq0\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\) אז \(f\) מונוטונית יורדת ב-\(\left[a,b\right]\).
אם \(f'\left(x\right)>0\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\) אז \(f\) עולה ממש ב-\(\left[a,b\right]\).
אם \(f'\left(x\right)<0\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\) אז \(f\) יורדת ממש ב-\(\left[a,b\right]\).
למה 4.15. תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בסביבה של \(a\in\MKreal\).
אם קיימת סביבה שמאלית של \(a\) שבה \(f\) יורדת וקיימת סביבה ימנית של \(a\) שבה \(f\) עולה אז \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\).
אם קיימת סביבה שמאלית של \(a\) שבה \(f\) עולה וקיימת סביבה ימנית של \(a\) שבה \(f\) יורדת אז \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\).
טענה 4.16. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה \(a\in\MKreal\) כך ש-\(a\) היא נקודה קריטית של \(f\).
אם \(f''\left(a\right)>0\) אז \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\).
אם \(f''\left(a\right)<0\) אז \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\).
הוכחה. נוכיח רק את הסעיף הראשון, ההוכחה עבור השני דורשת רק את החלפת כיווני האי-שוויונות. מהנתון ש-\(a\) היא נקודה קריטית של \(f\) נובע ש-\(f'\left(a\right)=0\). נניח ש-\(f''\left(a\right)>0\), כלומר:\[
\lim_{t\rightarrow a}\frac{f'\left(t\right)-f'\left(a\right)}{t-a}>0
\]ומכאן שקיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(t\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\frac{f'\left(t\right)}{t-a}=\frac{f'\left(t\right)-f'\left(a\right)}{t-a}>0
\]תהא \(\delta\) כנ"ל ומכאן שלכל \(t\in\left(a,a+\delta\right)\) מתקיים \(f'\left(t\right)>0\) ולכל \(t\in\left(a-\delta,a\right)\) מתקיים \(f'\left(t\right)<0\), ולכן ממסקנה 4.9 נובע ש-\(f\) עולה ממש ב-\(\left(a,a+\delta\right)\) ויורדת ממש ב-\(\left(a-\delta,a\right)\) וממילא ע"פ הלמה (4.11) \(a\) היא נקודת מינימום של \(f\).
טענה 4.17. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה \(a\in\MKreal\).
אם \(a\in\MKreal\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) אז \(f''\left(a\right)\geq0\).
אם \(a\in\MKreal\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) אז \(f''\left(a\right)\leq0\).
הוכחה. נוכיח רק את הסעיף הראשון, ההוכחה עבור הסעיף השני דומה מאד. נניח ש-\(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) ונניח בשלילה שמתקיים \(f''\left(a\right)<0\). \(a\) היא נקודת מינימום של \(f\) וככזו היא נקודה קריטית ולכן ע"פ הטענה הקודמת \(a\) היא גם נקודת מקסימום מקומית של \(f\). מכאן שקיימת סביבה \(U\) של \(a\) שבה \(f\) קבועה ולכן הנגזרת שלה בסביבה זו היא פונקציית האפס ומכאן ש-\(f''\left(a\right)=0\) בסתירה להנחת השלילה. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(f''\left(a\right)\geq0\).
טענה 4.18. 15טענה זו והמסקנה שאחריה נלמדו אצל יורם. תהא \(f\) פונקציה גזירה על קטע פתוח16או על קרן פתוחה/כל הישר.\(I\).
אם \(f'\) מונוטונית עולה ב-\(I\) אז \(f\) קמורה ב-\(I\).
אם \(f'\) מונוטונית יורדת ב-\(I\) אז \(f\) קעורה ב-\(I\).
הוכחה. נוכיח רק את הסעיף הראשון, ההוכחה של הסעיף השני דומה למדי. נניח שלכל \(x\in I\) מתקיים \(f''\left(x\right)\geq0\) ונניח בשלילה ש-\(f\) אינה קמורה ב-\(I\), כלומר קיימים \(a,b\in I\) וקיים \(t\in\left[0,1\right]\) כך שמתקיים:\[
f\left(t\cdot a+\left(1-t\right)\cdot b\right)>t\cdot f\left(a\right)+\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right)
\]יהיו \(a\), \(b\) ו-\(t\) כנ"ל, מהגדרה לא ייתכן ש-\(a=b\) שכן אז נקבל שוויון במקום האי-שוויון שלעיל, א"כ נניח בהג"כ ש-\(a<b\). נסמן \(x:=t\cdot a+\left(1-t\right)\cdot b\), לא ייתכן ש-\(x=a\) או ש-\(x=b\) משום שאז \(t=1\) או ש-\(t=0\) ואז נקבל שוב שוויון במקום האי-שוויון שלעיל. מהגדרה מתקיים \(x-a=\left(1-t\right)\cdot\left(b-a\right)\) וגם \(b-x=t\cdot\left(b-a\right)\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a} & >\frac{t\cdot f\left(a\right)+\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\left(1-t\right)\cdot\left(b-a\right)}\\
& =\frac{-t\cdot\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)+f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\left(1-t\right)\cdot\left(b-a\right)}\\
& =\frac{\left(1-t\right)\cdot\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)}{\left(1-t\right)\cdot\left(b-a\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\\
\Rightarrow\frac{f\left(b\right)-f\left(x\right)}{b-x} & <\frac{f\left(b\right)-t\cdot f\left(a\right)-\left(1-t\right)\cdot f\left(b\right)}{t\cdot\left(b-a\right)}\\
& =\frac{f\left(b\right)+t\cdot\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)-f\left(b\right)}{t\cdot\left(b-a\right)}\\
& =\frac{t\cdot\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)}{t\cdot\left(b-a\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
\end{align*}\]ממשפט הערך הממוצע נובע שקיימים \(c_{1}\in\left(a,x\right)\) ו-\(c_{2}\in\left(x,b\right)\) כך שמתקיים:\[
f'\left(c_{1}\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}>\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}>\frac{f\left(b\right)-f\left(x\right)}{b-x}=f'\left(c_{2}\right)
\]וזאת בסתירה לכך ש-\(f'\) מונוטונית יורדת ב-\(I\) וממילא גם ב-\(\left(a,b\right)\).
מסקנה 4.19. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים על קטע פתוח17או על קרן פתוחה/כל הישר.\(I\).
אם לכל \(x\in I\) מתקיים \(f''\left(x\right)\geq0\) אז \(f\) קמורה ב-\(I\).
אם לכל \(x\in I\) מתקיים \(f''\left(x\right)\leq0\) אז \(f\) קעורה ב-\(I\).
\(\clubsuit\)
מכאן שאם \(x_{0}\) היא נקודת פיתול של \(f\) אז \(f''\) מחליפה סימן ב-\(x_{0}\).
\(\clubsuit\)
אצל יורם הוכחנו באמצעות משפט דארבו (בהמשך), שלפונקציית הנגזרת אין גם נקודות אי-רציפות מסדר ראשון ומכאן שנקודות אי-רציפות של נגזרת (אם הן קיימות) הן מסדר שני.
משפט 4.20. תהא \(f\) פונקציה רציפה בנקודה \(a\in\MKreal\), אם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f'\left(a\right)\end{alignedat}
\) קיים אז \(f\) גזירה ב-\(a\) ומתקיים:\[
f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f'\left(a\right)
\]כלומר לפונקציית הנגזרת אין ולו נקודת אי-רציפות סליקה אחת (כשמגדירים אותה על התחום המרבי).
הוכחה. נניח שהגבול \(L:=\lim_{x\rightarrow a}f'\left(a\right)\) קיים, מהעובדה שגבול זה קיים נובע ש-\(f'\) מוגדרת בסביבה מנוקבת של \(a\), ומכאן שקיימת \(0<\delta_{0}\in\MKreal\) כך ש-\(f'\) מוגדרת ב-\(\left[a-\delta_{0},a+\delta_{0}\right]\setminus\left\{ a\right\} \), וממילא \(f\) רציפה ב-\(\left[a-\delta_{0},a+\delta_{0}\right]\), תהא \(\delta_{0}\) כנ"ל. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מהגדרת הגבול נובע שקיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(c\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים \(\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon\), תהא \(\delta\) כנ"ל כך ש-\(\delta\leq\delta_{0}\). יהי \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\), ממה שראינו לעיל \(f\) רציפה בקטע הסגור שבין \(x\) ל-\(a\) וגזירה בקטע הפתוח המתאים, מכאן שע"פ משפט הערך הממוצע קיים \(c\) בקטע פתוח זה כך שמתקיים:\[
f'\left(c\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}
\]אותו \(c\) מקיים בהכרח \(c\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) ולכן מתקיים גם:\[
\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon
\]\(\varepsilon\) הנ"ל ו-\(x\) הנ"ל היו שרירותיים ולכן לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}-L\right|<\varepsilon
\]מהגדרת הגבול נובע כי:\[
f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}f'\left(a\right)
\]
4.4 משפט הערך הממוצע של קושי ומשפט דארבו
משפט 4.21. משפט הערך הממוצע של קושי תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות רציפות בקטע סגור \(\left[a,b\right]\subseteq\MKreal\) וגזירות בקטע הפתוח \(\left(a,b\right)\), קיים \(c\in\left(a,b\right)\) המקיים:\[
\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g'\left(c\right)=\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f'\left(c\right)
\]
\(\clubsuit\)
אצל יורם למדנו גרסה קצת אחרת: תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות רציפות בקטע סגור \(\left[a,b\right]\) וגזירות בקטע הפתוח \(\left(a,b\right)\), אם לכל \(x\in\left(a,b\right)\) מתקיים \(g'\left(x\right)\neq0\) אזי \(g\left(a\right)\neq g\left(b\right)\) וגם קיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) כך שמתקיים:\[
\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}
\]נשים לב שבניסוח זה רואים בבירור שהמשפט של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז': נציב \(g=\MKid\).
\(\clubsuit\)
משפט דארבו הוא כמין משפט "ערך ביניים" לנגזרות והוא מגביל מאד את קבוצת הפונקציות שהן נגזרות של פונקציות אחרות, לא כל פונקציה יכולה להיות נגזרת!
הוכחה. תהא \(h:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\left[a,b\right]\)):\[
h\left(x\right):=\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g\left(x\right)-\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f\left(x\right)
\]נשים לב לכך שמתקיים:\[\begin{align*}
h\left(a\right) & :=\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g\left(a\right)-\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f\left(a\right)=f\left(b\right)\cdot g\left(a\right)-f\left(a\right)\cdot g\left(b\right)\\
h\left(b\right) & :=\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g\left(b\right)-\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f\left(b\right)=-f\left(a\right)\cdot g\left(b\right)+f\left(b\right)\cdot g\left(a\right)
\end{align*}\]כלומר \(h\left(a\right)=h\left(b\right)\). מאריתמטיקה של רציפות וגזירות נובע ש-\(h\) רציפה ב-\(\left[a,b\right]\) וגזירה ב-\(\left(a,b\right)\) ולכן ע"פ משפט רול קיים \(c\in\left(a,b\right)\) כך שמתקיים:\[
0=h'\left(c\right)=\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g'\left(c\right)-\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f'\left(c\right)
\]ומכאן שאותו \(c\) מקיים:\[
\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\cdot g'\left(c\right)=\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\cdot f'\left(c\right)
\]
משפט 4.22. משפט דארבו18ערך בוויקיפדיה: ז'אן גסטון דארבו. תהא \(f\) פונקציה גזירה בקטע פתוח \(\left(a,b\right)\) כך שבנוסף \(f'\left(a^{+}\right)\) ו-\(f'\left(b^{-}\right)\) קיימים (\(f\) גזירה ב-\(a\) מימין וב-\(b\) משמאל), לכל \(t\) השייך לקטע הפתוח שבין \(f'\left(a^{+}\right)\) ו-\(f'\left(b^{-}\right)\)19אם \(f'\left(a^{-}\right)=f'\left(b^{+}\right)\) אז המשפט מתקיים באופן ריק ומבחינה אינטואיטיבית ניתן לומר שהוא מתקיים תמיד עבור הנגזרות החד-צדדיות בקצוות משום שהן עצמן מקבלות את הערך הדרוש. קיים \(x\in\left(a,b\right)\) כך ש-\(f'\left(x\right)=t\).
הוכחה. יהי \(t\) בקטע הפתוח שבין \(f'\left(a^{+}\right)\) ו-\(f'\left(b^{-}\right)\) ותהא \(g:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\left[a,b\right]\)):\[
g\left(x\right):=f\left(x\right)-t\cdot x
\]מכאן שע"פ כללי גזירה מתקיים \(g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-t\) לכל \(x\in\left(a,b\right)\), וכמו כן מתקיים \(g'\left(a^{+}\right)=f'\left(a^{+}\right)-t\neq0\) ו-\(g'\left(b^{-}\right)=f'\left(b^{-}\right)-t\neq0\). מאריתמטיקה של רציפות נובע ש-\(g\) רציפה בקטע הסגור \(\left[a,b\right]\) ולכן מעקרון המקסימום והמינימום של ויירשטראס נובע שיש ל-\(g\) נקודת קיצון בקטע, א"כ תהא \(c\in\left[a,b\right]\) נקודה כזו. ממשפט פרמה נובע ש-\(g'\left(c^{\pm}\right)=0\) אך ראינו לעיל ש-\(g'\left(a^{+}\right)\neq0\) ו-\(g'\left(b^{-}\right)\neq0\) ולכן \(c\neq a\) ו-\(c\neq b\), א"כ \(c\in\left(a,b\right)\) ומתקיים \(g'\left(c\right)=0\), כלומר \(f'\left(c\right)-t=0\) וממילא \(f'\left(c\right)=t\).
מסקנה 4.23. 20מסקנה זו נלמדה אצל יורם. תהא \(f\) פונקציה גזירה בקטע פתוח \(\left(a,b\right)\), ל-\(f'\) אין נקודות אי-רציפות סליקות או נקודות אי-רציפות מסדר ראשון.
4.5 משוואות דיפרנציאליות על קצה המזלג
טענה 4.24. תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה גזירה כך שקיים \(k\in\MKreal\) המקיים \(f'\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)\) לכל \(x\in A\)21מהגדרה \(k\) כזה יחיד אלא אם \(f\) היא פונקציית האפס., קיים \(c\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים \(f\left(x\right)=c\cdot e^{kx}\).
הוכחה. יהי \(k\) כנ"ל ותהא \(g:A\rightarrow B\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in A\)):\[
g\left(x\right):=\frac{f\left(x\right)}{\exp\left(kx\right)}
\]מכלל הגזירה למנה נובע שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
g'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)\cdot\exp\left(kx\right)-f\left(x\right)\cdot k\cdot\exp'\left(kx\right)}{\exp^{2}\left(kx\right)}=\frac{k\cdot f\left(x\right)\cdot\exp\left(kx\right)-f\left(x\right)\cdot k\cdot\exp\left(kx\right)}{\exp^{2}\left(kx\right)}=0
\]ממסקנה 4.6 נובע ש-\(g\) היא פונקציה קבועה, כלומר קיים \(c\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים \(g\left(x\right)=c\) וממילא גם:\[
f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\exp\left(kx\right)=c\cdot\exp\left(kx\right)
\]
טענה 4.25. תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה גזירה פעמיים המקיימת \(f''\left(x\right)=f\left(x\right)\) לכל \(x\in A\), קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(x\in A\)):\[
f\left(x\right)=a\cdot e^{x}+b\cdot e^{-x}
\]
הוכחה. תהיינה \(g,h:A\rightarrow B\) שתי פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(x\in A\)):\[\begin{align*}
g\left(x\right) & :=e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\\
h\left(x\right) & :=e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)-f'\left(x\right)\right)
\end{align*}\]מכאן שע"פ כלל לייבניץ לכל \(x\in A\) מתקיים:\[\begin{align*}
g'\left(x\right) & =e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)+e^{x}\cdot\left(f'\left(x\right)+f''\left(x\right)\right)\\
& =g\left(x\right)+e^{x}\cdot\left(f'\left(x\right)+f\left(x\right)\right)=2\cdot g\left(x\right)\\
h'\left(x\right) & =e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)-f'\left(x\right)\right)+e^{x}\cdot\left(f'\left(x\right)-f''\left(x\right)\right)\\
& =h\left(x\right)+e^{x}\cdot\left(f'\left(x\right)-f\left(x\right)\right)=h\left(x\right)-h\left(x\right)=0
\end{align*}\]מכאן שע"פ הטענה הקודמת (4.20) קיים \(a\in\MKreal\) כך ש-\(g\left(x\right)=2a\cdot\exp\left(2x\right)\) וע"פ מסקנה 4.6 קיים \(b\in\MKreal\) כך ש-\(h\left(x\right)=2b\) לכל \(x\in A\), יהיו \(a\) ו-\(b\) כנ"ל. א"כ לכל \(x\in A\) מתקיים:\[\begin{align*}
2a\cdot e^{2x} & =e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\\
2b & =e^{x}\cdot\left(f\left(x\right)-f'\left(x\right)\right)
\end{align*}\]ולכן גם:\[\begin{align*}
2a\cdot e^{x} & =f\left(x\right)+f'\left(x\right)\\
2b\cdot e^{-x} & =f\left(x\right)-f'\left(x\right)
\end{align*}\]וממילא:\[
f\left(x\right)=\frac{2\cdot f\left(x\right)}{2}=\frac{\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)+\left(f\left(x\right)-f'\left(x\right)\right)}{2}=\frac{2a\cdot e^{x}+2b\cdot e^{-x}}{2}=a\cdot e^{x}+b\cdot e^{-x}
\]
טענה 4.26. תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה גזירה פעמיים המקיימת \(f''\left(x\right)=-f\left(x\right)\) לכל \(x\in A\), קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(x\in A\)):\[
f\left(x\right)=a\cdot\sin\left(x\right)+b\cdot\cos\left(x\right)
\]
הוכחה. יהי \(\alpha\in A\) ותהא \(g:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in A\)):\[
g\left(x\right):=f\left(x\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)-f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow g\left(\alpha\right) & =f\left(\alpha\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(0\right)-f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(0\right)\\
& =f\left(\alpha\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot0-f\left(\alpha\right)\cdot1=0
\end{align*}\]מכללי גזירה, לכל \(x\in A\) מתקיים:\[
g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow g'\left(\alpha\right) & =f'\left(\alpha\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(0\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(0\right)\\
& =f'\left(\alpha\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot1+f\left(\alpha\right)\cdot0=0
\end{align*}\]כמו כן, לכל \(x\in A\) מתקיים:\[\begin{align*}
g''\left(x\right) & =f''\left(x\right)+f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)\\
& =-f\left(x\right)+f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)=-g\left(x\right)
\end{align*}\]תהא \(h:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in A\)):\[
h\left(x\right):=g^{2}\left(x\right)+g'^{2}\left(x\right)
\]מכללי גזירה נובע שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[\begin{align*}
h'\left(x\right) & =2\cdot g\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)+2\cdot g'\left(x\right)\cdot g''\left(x\right)\\
& =2\cdot g\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)-2\cdot g'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=0
\end{align*}\]ומכאן שלפי מסקנה 4.6\(h\) היא פונקציה קבועה. נשים לב לכך שמתקיים:\[
h\left(\alpha\right)=g^{2}\left(\alpha\right)+g'^{2}\left(\alpha\right)=0
\]ולכן \(h\left(x\right)=0\) לכל \(x\in A\). כעת נשים לב לכך שמכיוון ש-\(h\) היא סכום של שני ריבועים הרי שכל אחד מהם בנפרד הוא \(0\), כלומר לכל \(x\in A\) מתקיים \(g\left(x\right)=g'\left(x\right)=0\) ומכאן שגם:\[
f\left(x\right)-f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)-f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)=g\left(x\right)=0
\]וממילא מתקיים (לכל \(x\in A\)):\[\begin{align*}
f\left(x\right) & =f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(x-\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x-\alpha\right)\\
& =f'\left(\alpha\right)\cdot\left(\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)-\sin\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(x\right)\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\left(\cos\left(x\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)+\sin\left(x\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)\right)\\
& =\left(f'\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)\right)\cdot\sin\left(x\right)+\left(-f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)
\end{align*}\]ולכן אם נגדיר:\[\begin{align*}
a & :=f'\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)\\
b & :=-f'\left(\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\cdot\cos\left(\alpha\right)
\end{align*}\]נקבל (לכל \(x\in A\)):\[
f\left(x\right)=a\cdot\sin\left(x\right)+b\cdot\cos\left(x\right)
\]
מסקנה 4.27. תהא \(f:A\rightarrow B\) פונקציה גזירה פעמיים כך שקיים \(k\in\MKreal\) המקיים \(f''\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)\)22ושוב, מהגדרה \(k\) כזה יחיד אלא אם \(f\) היא פונקציית האפס. ונסמן \(\omega:=\sqrt{\left|k\right|}\).
אם \(k>0\) אז קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(x\in A\)):\[
f\left(x\right)=a\cdot e^{\omega x}+b\cdot e^{-\omega x}
\]
אם \(k<0\) אז קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(x\in A\)):\[
f\left(x\right)=a\cdot\sin\left(\omega x\right)+b\cdot\cos\left(\omega x\right)
\]
אם \(k=0\) אז קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(x\right)=ax+b\) לכל \(x\in A\).
הוכחה. נסמן \(C:=\omega\cdot A\), מהגדרה לכל \(x\in A\) קיים \(z\in C\) יחיד כך ש-\(\frac{z}{\omega}=x\) ולכל \(z\in C\) קיים \(x\in A\) יחיד כך ש-\(\omega x=z\). תהא \(g:C\rightarrow B\) פונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(z\right):=f\left(\frac{z}{\omega}\right)\) לכל \(z\in C\)(. מכללי גזירה נובע שלכל \(z\in C\) מתקיים:\[
g'\left(z\right)=\frac{1}{\omega}\cdot f'\left(\frac{z}{\omega}\right)
\] ולכן גם:\[
g''\left(z\right)=\frac{1}{\omega^{2}}\cdot f''\left(\frac{z}{\omega}\right)=\frac{k}{\omega^{2}}\cdot f\left(\frac{z}{\omega}\right)=\frac{k}{\left|k\right|}\cdot f\left(\frac{z}{\omega}\right)=\MKsign\left(k\right)\cdot g\left(z\right)
\]כעת נחלק למקרים:
אם \(k>0\) אז \(\MKsign\left(k\right)=1\) ולפי טענה 4.21 קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים )לכל \(z\in C\)(:\[
g\left(z\right)=a\cdot e^{z}+b\cdot e^{-z}
\]יהיו \(a\) ו-\(b\) כנ"ל ומכאן שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
f\left(x\right)=f\left(\frac{\omega x}{\omega}\right)=g\left(\omega x\right)=a\cdot e^{\omega x}+b\cdot e^{-\omega x}
\]
אם \(k<0\) אז \(\MKsign\left(k\right)=-1\) ולפי טענה 4.22 קיימים \(a,b\in\MKreal\) כך שמתקיים )לכל \(z\in C\)(:\[
g\left(z\right)=a\cdot\sin\left(z\right)+b\cdot\cos\left(z\right)
\]יהיו \(a\) ו-\(b\) כנ"ל ומכאן שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
f\left(x\right)=f\left(\frac{\omega x}{\omega}\right)=g\left(\omega x\right)=a\cdot\sin\left(\omega x\right)+b\cdot\cos\left(\omega x\right)
\]
אם \(k=0\) אז \(f''\left(x\right)=0\) לכל \(x\in A\) ולכן ממסקנה 4.6\(f'\) היא פונקציה קבועה, ולכן ממסקנה 4.8 נובע שקיימים \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(x\right)=ax+b\) לכל \(x\in A\).
5 כלל לופיטל
5.1 הגדרות
אין הגדרות בפרק זה.
\(\:\)
\(\clubsuit\)
תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות כך שהגבול )במובן הרחב( של \(f\) ב-\(a\) הוא \(l\) וזה של \(g\) הוא \(m\)23מדובר בגבולות במובן הרחב: ייתכן ש-\(a\), \(l\) או \(m\) הם סימון ל-\(\pm\infty\)., כלומר:\[
l:=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right),\ m:=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)
\]ראינו שמתקיים:
\(l=\pm\infty\) ו-\(0<m\in\MKreal\)24ראה הערה במקרה6מה קורה כאשר \(m<0\).
\(\frac{\pm\infty}{m}\)
\(\pm\infty\)
מקרה6
3
\(0<l\in\MKreal\), \(m=0\) ו-\(g\) חיובית25ראה הערה במקרה7מה קורה כאשר \(l<0\) או ש-\(g\) שלילית.
\(\frac{l}{0}\)
\(\infty\)
מקרה7
4
\(l=\pm\infty\), \(m=0\) ו-\(g\) חיובית26ראה הערה במקרה7מה קורה כאשר \(g\) שלילית.
\(\frac{\pm\infty}{0}\)
\(\pm\infty\)
מקרה7
5
\(l\in\MKreal\) ו-\(m=\pm\infty\)
\(\frac{l}{\pm\infty}\) )\(\frac{0}{\pm\infty}\)(
\(0\)
מקרה8
6
\(l=\pm\infty\) ו-\(g\) חסומה מלרע ע"י חסם חיובי27אם \(g\) חסומה מלעיל ע"י חסם שלילי אז הגבול הוא \(\mp\infty\).
\(\frac{\pm\infty}{M}\)
\(\pm\infty\)
כלל המכפלה
7
\(f\) חסומה מלרע ע"י חסם חיובי, \(m=0\) ו-\(g\) חיובית28אם \(f\) חסומה מלעיל ע"י חסם שלילי או ש-\(g\) שלילית אז הגבול הוא \(-\infty\), אך אם שניהם מתקיימים הגבול נשאר \(\infty\).
\(\frac{M}{0}\)
\(\infty\)
כלל המכפלה29הגבול של \(\frac{1}{g}\) הוא \(\infty\).
8
\(f\) חסומה ו-\(m=\pm\infty\)
\(\frac{M}{\pm\infty}\)
\(0\)
כלל אפסה וחסומה30הגבול של \(\frac{1}{g}\) הוא \(0\).
אבל מה קורה בגבולות מהצורה \(\frac{0}{0}\) או \(\frac{\infty}{\infty}\)31גבולות מהצורה \(\frac{-\infty}{\infty}\) או מהצורה \(\frac{\infty}{-\infty}\) שקולים לגבולות מהצורה \(-\frac{\infty}{\infty}\), וגבולות מהצורה \(\frac{-\infty}{-\infty}\) שקולים לגבולות מהצורה \(\frac{\infty}{\infty}\).? כאן בא לעזרתנו כלל לופיטל32ערך בוויקיפדיה: המרקיז דה לופיטל, למעשה מי שגילה את כלל לופיטל היה יוהאן ברנולי שהיה המורה של לופיטל, הכלל נקרא על שמו של לופיטל מפני שקנה מברנולי את הבלעדיות על תגליותיו וכך הכלל התפרסם לראשונה בספר שכתב לופיטל )ראו בוויקיפדיה בערכים הנ"ל ובערך כלל לופיטל. .
\(\clubsuit\)
כלל לופיטל לגבול של פונקציה בנקודה נכון גם עבור גבולות חד-צדדיים (ואז ניתן להסתפק בסביבה חד-צדדית של \(a\) שבה \(f\) ו-\(g\) גזירות).
\(\clubsuit\)
הרעיון מאחורי כלל לופיטל הוא שבמקרים כאלה אנו בעצם שואלים מי מבין הפונקציות "מנצחת", מי שואפת מהר יותר ל-\(0\) או ל-\(\pm\infty\), כלומר מה שקובע הוא קצב השינוי של הפונקציות הלא הוא הנגזרת!
\(\clubsuit\)
ישנם מקרים נוספים (מלבד מנת פונקציות) שבהם יש לנו שתי פונקציות ה"מתחרות" ביניהן כשהן "מושכות" את הגבול לכיוונים מנוגדים, לדוגמה:
\(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=0\end{alignedat}
\) ו-\(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=\pm\infty\end{alignedat}
\) כשהגבול המבוקש הוא \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\end{alignedat}
\) ("צורת הגבול" היא \(0\cdot\pm\infty\)).
\(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=1\end{alignedat}
\) ו-\(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}g\left(a\right)=\pm\infty\end{alignedat}
\) כשהגבול המבוקש הוא \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)^{g\left(x\right)}\end{alignedat}
\) ("צורת הגבול" היא \(1^{\pm\infty}\)).
את המקרה הראשון קל להמיר ללופיטל:\[
\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{\frac{1}{g\left(x\right)}}
\]ובשביל המקרה השני יש להשתמש בשיטה הבאה33נכונות השיטה נובעת ממשפט ההצבה בגבולות.:\[
\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)^{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\exp\left(\ln\left(f\left(x\right)^{g\left(x\right)}\right)\right)=\lim_{x\rightarrow a}\exp\left(g\left(x\right)\cdot\ln\left(f\left(x\right)\right)\right)=\exp\left(\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln\left(f\left(x\right)\right)}{\frac{1}{g\left(x\right)}}\right)
\]
\(\clubsuit\)
נשים לב להבדלים בין משפט זה לכלל לופיטל: כאן דרשנו ש-\(f\) ו-\(g\) תהיינה מוגדרות בסביבה מלאה של \(a\) (ולא רק בסביבה מנוקבת), בנוסף דרשנו שיתקיים \(g'\left(a\right)\neq0\) (ולא שגבול מנת הנגזרות קיים) וההבדל האחרון הוא שקיבלנו שהגבול שווה למנת הנגזרות (ולא שהוא שווה לגבול של מנת הנגזרות).
\(\clubsuit\)
גם משפט זה נכון עבור גבולות חד-צדדיים (עם נגזרות חד-צדדיות).
משפט 5.1. כלל לופיטל לגבול של פונקציה בנקודה תהיינה \(f,g:A\rightarrow B\) שתי פונקציות כך ש-\(A\) מכילה סביבה מנוקבת של נקודה \(a\in\MKreal\) ובנוסף \(f\) ו-\(g\) גזירות בסביבה זו.
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=0\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=\pm\infty\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב34לא ייתכן שהגבול של מנת הנגזרות הוא \(-\infty\), הוכחה לכך נמצאת בקובץ ההוכחות (בהוכחה של סעיף זה).) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
הוכחה. נניח שהגבול \(L:=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\) קיים במובן הרחב, מכאן נובע שקיימת סביבה מנוקבת של \(a\) שבה \(g'\) אינה מתאפסת ולכן ע"פ משפט רול גם \(g\) אינה מתאפסת בסביבה זו. נעסוק תחילה במקרה שבו \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=0\). נשים לב שניתן להניח כי \(f\) ו-\(g\) מוגדרות ב-\(a\) ורציפות בה (כלומר \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0\)), תהיינה \(F,G:A\cup\left\{ a\right\} \rightarrow B\cup\left\{ 0\right\} \) שתי פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(x\in A\cup\left\{ a\right\} \)):\[
\tilde{f}\left(x\right)=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases},\ \tilde{g}\left(x\right)=\begin{cases}
g\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases}
\]ונניח שהצלחנו להוכיח כי:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{\tilde{f}\left(x\right)}{\tilde{g}\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\tilde{f}'\left(x\right)}{\tilde{g}'\left(x\right)}
\]ובפרט קיימת סביבה מנוקבת של \(a\) שבה \(G\) ו-\(G'\) אינן מתאפסות, נשים לב שלכל \(a\neq x\in A\) מתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\tilde{f}\left(x\right)}{\tilde{g}\left(x\right)},\ \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\frac{\tilde{f}'\left(x\right)}{\tilde{g}'\left(x\right)}
\]ולכן גם:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\tilde{f}\left(x\right)}{\tilde{g}\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\tilde{f}'\left(x\right)}{\tilde{g}'\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]שכן הגבול אינו מושפע כלל מערך הפונקציה בנקודה. א"כ נניח כי \(f\) ו-\(g\) רציפות ב-\(a\), כלומר \(f\) ו-\(g\) מוגדרות ב-\(a\) ומתקיים \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0\).
נניח ש-\(L\in\MKreal\) ויהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\). מהגדרת הגבול קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|<\varepsilon
\]תהא \(\delta\) כנ"ל. ממשפט הערך הממוצע של קושי נובע שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) קיימת נקודה \(c_{x}\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\)35ליתר דיוק המשפט קובע ש-\(c_{x}\) שייך לאותה סביבה חד-צדדית של \(a\) שאליה שייך \(x\) ולכן כלל לופיטל עובד גם עבור גבולות חד-צדדיים. כך שמתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\frac{f'\left(c_{x}\right)}{g'\left(c_{x}\right)}
\]ומכאן שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|<\varepsilon
\]\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
נניח ש-\(L=\infty\), כפי שראינו לעיל נובע מזה שלכל \(M\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) קיים \(c_{x}\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) המקיים:\[
\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\frac{f'\left(c_{x}\right)}{g'\left(c_{x}\right)}>M
\]ולכן מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\infty=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
ההוכחה עבור \(L=-\infty\) זהה עד כדי החלפת כיווני האי-שוויון שלעיל.
נניח כי \(L\in\MKreal\) ויהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\). מהגדרת הגבול קיימת \(0<\eta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]תהא \(\eta\) כנ"ל ומכאן שע"פ משפט הערך הממוצע של קושי לכל \(x\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\) קיימת נקודה \(c_{x}\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\)36ושוב: המשפט קובע ש-\(c_{x}\) שייך לאותה סביבה חד-צדדית של \(a\) שאליה שייך \(x\) ולכן כלל לופיטל עובד גם עבור גבולות חד-צדדיים. כך שמתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}=\frac{f'\left(c_{x}\right)}{g'\left(c_{x}\right)}
\]ולכן לכל \(x\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]ובנוסף:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}=L
\]כעת נשים לב לכך שלכל \(x\in B_{\eta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
\frac{f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}-\frac{g\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}\cdot\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)} & =\frac{f\left(a+\eta\right)\cdot\left(g\left(x\right){\color{red}-g\left(a+\eta\right)}\right)-g\left(a+\eta\right)\left(f\left(x\right){\color{red}-f\left(a+\eta\right)}\right)}{g\left(x\right)\cdot\left(g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\right)}\\
& =\frac{f\left(a+\eta\right)\cdot g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)f\left(x\right)}{g\left(x\right)\cdot\left(g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\right)}\\
& =\frac{f\left(a+\eta\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\cdot f\left(x\right)}{g\left(x\right)\cdot\left(g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\right)}\\
& =\frac{\left(f\left(a+\eta\right)-f\left(x\right)\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot\left(g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\right)}{g\left(x\right)\cdot\left(g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)\right)}\\
& =\frac{f\left(a+\eta\right)-f\left(x\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}+\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\\
& =\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}
\end{align*}\]מהעובדה ש-\(\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=\pm\infty\) נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}=0
\]ולכן מאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[
\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}\right)=\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}-\frac{g\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)}\cdot\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}\right)=0-0\cdot L=0
\]ומכאן שקיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך ש-\(\delta\leq\eta\) ולכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]תהא \(\delta\) כנ"ל ומכאן שלכל \(x\in B_{\delta}^{\circ}\left(a\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
\varepsilon & >\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}\right|+\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}-L\right|\\
& \geq\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}+\frac{f\left(x\right)-f\left(a+\eta\right)}{g\left(x\right)-g\left(a+\eta\right)}-L\right|\\
& =\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
נניח ש-\(L=\pm\infty\), בפרט קיימת סביבה של \(a\) שבה \(f'\) אינה מתאפסת ומכאן שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g'\left(x\right)}{f'\left(x\right)}=0
\]ולפי המקרה הקודם נובע מכאן שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=0
\]ולכן גם:\[
\lim_{x\rightarrow a}\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right|=\infty
\]כעת נזכור ש-\(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=\pm\infty\) ולכן קיימת סביבה מנוקבת של \(a\) שבה \(f\) ו-\(g\) שוות סימן, מכאן שבאותה סביבה מתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right|
\]\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\infty
\]
רגע רגע, מה קורה פה? התחלנו עם ההנחה שהגבול של מנת הנגזרות הוא \(\pm\infty\) וקיבלנו שהגבול של מנת הפונקציות הוא \(\infty\), זה לא כל כך מסתדר עם מה שראינו עד עכשיו... התשובה היא שכאשר שתי הפונקציות שואפות ל-\(\pm\infty\) הגבול של מנת הנגזרות אינו יכול להיות \(-\infty\), להלן הנימוק לכך: נניח בשלילה שהגבול של מנת הנגזרות הוא \(-\infty\), א"כ קיימת סביבה מנוקבת של \(a\) שבה סימני הנגזרות מנוגדים בכל נקודה; מצד שני לא ייתכן שקיימת סביבה חד-צדדית37לא נוכל להשתמש כאן בסביבה מנוקבת דו-צדדית משום שהשלב האחרון של ההוכחה ישתמש במשפט דארבו והלא \(f\) ו-\(g\) אינן מוגדרות ב-\(a\). שמאלית38ניתן היה לדבר גם על סביבה ימנית אלא שהדיבור על שמאלית מפשט את הדיבור כפי שתיווכחו להלן. של \(a\) שבה אחת מהנגזרות שומרת על סימן קבוע משום שאז גם האחרת תשמור על סימן קבוע מנוגד ומזה נובע שאחת מן הפונקציות תהיה יורדת ממש והאחרת תהיה עולה ממש בסביבה זו, ובמקרה כזה הפונקציה היורדת אינה יכולה לשאוף ל-\(\infty\) משמאל ל-\(a\) ואילו העולה אינה יכולה לשאוף לשאוף ל-\(-\infty\) משמאל ל-\(a\) בסתירה לנתון. א"כ שתי הנגזרות מקבלות ערכים חיוביים ושליליים בכל סביבה שמאלית של \(a\) ולכן ממשפט דארבו נובע שבכל סביבה שמאלית של \(a\) קיימת נקודה שבה \(g'\) מתאפסת בסתירה לכך שהגבול של מנת הנגזרות קיים.
כעת נעבור לעסוק במקרה שבו \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=\pm\infty\)39הוכחה זו נלמדה אצל יורם..
משפט 5.2. כלל לופיטל לגבול של פונקציה ב-\(\pm\infty\) תהיינה \(f,g:A\rightarrow B\) שתי פונקציות.
נניח ש-\(A\) מכילה קרן ימנית כך ש-\(f\) ו-\(g\) גזירות בכל נקודה בקרן זו.
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)=0\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}g\left(x\right)=\pm\infty\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
נניח ש-\(A\) מכילה קרן שמאלית כך ש-\(f\) ו-\(g\) גזירות בכל נקודה בקרן זו.
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}g\left(x\right)=0\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
אם \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}g\left(x\right)=\pm\infty\end{alignedat}
\) וגם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הרחב) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]
הוכחה. וגם הגבול \(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\) קיים במובן הרחב40כמו שראינו לעיל נובע מזה (ע"פ משפט רול) שקיימת קרן/ימנית שמאלית שבה \(g\) אינה מתאפסת.. נסמן \(X:=\left\{ 0\neq x\in\MKreal\mid\frac{1}{x}\in A\right\} \) ותהיינה \(F,G:C\rightarrow B\) שתי פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(x\in X\)):\[
F\left(x\right):=f\left(\frac{1}{x}\right),\ G:=g\left(\frac{1}{x}\right)
\]מהעובדה ש-\(A\) מכילה קרן ימנית/שמאלית נובע ש-\(X\) מכילה סביבה ימנית/שמאלית של \(0\) וממשפט ההצבה בגבולות במובן הרחב נובע שמתקיים (מדובר בשוויון פורמלי בלבד, עוד לא הוכחנו שהגבולות קיימים):\[
\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{g\left(\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}
\]מכלל השרשרת נובע שלכל \(x\in X\) מתקיים:\[
F'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}\cdot f'\left(\frac{1}{x}\right),\ G'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}\cdot g'\left(\frac{1}{x}\right)
\]ומכאן שע"פ משפט ההצבה גבולות גם41קיימת קרן ימנית/שמאלית שבה \(g'\) אינה מתאפסת ולכן קיימת סביבה ימנית/שמאלית של \(0\) שבה \(g'\left(\frac{1}{x}\right)\) אינה מתאפסת וממילא גם \(G'\).:\[
\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{F'\left(x\right)}{G'\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{g'\left(\frac{1}{x}\right)}{f'\left(\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}
\]מכלל לופיטל לגבול (חד-צדדי) של פונקציה בנקודה נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{F'\left(x\right)}{G'\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}
\]וכפי שהזכרנו לעיל זה אומר שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}
\]
משפט 5.3. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות בנקודה \(a\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0\) ו-\(g'\left(a\right)\neq0\), מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(a\right)}{g'\left(a\right)}
\]
הוכחה. מהעובדה ש-\(g'\left(a\right)\neq0\) נובע שקיימת סביבה מנוקבת של \(a\) שבה \(\frac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}\neq0\) ובפרט \(g\left(x\right)=g\left(x\right)-g\left(a\right)\neq0\), מכאן שקיימת סביבה מנוקבת שבה לכל \(x\) מתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\frac{\frac{f\left(x\right)-f\left(x\right)}{x-a}}{\frac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}}
\]ולכן מאריתמטיקה של גבולות נובע כי:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(x\right)}{x-a}\cdot\left(\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}\right)^{-1}=\frac{f'\left(a\right)}{g'\left(a\right)}
\]
מסקנה 5.4. 42מסקנה זו נלמדה אצל יורם. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\) ומקיימות:\[
g\left(a\right)=g'\left(a\right)=g''\left(a\right)=g^{\left(3\right)}\left(a\right)=\ldots=g^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0,\ g^{\left(n\right)}\left(a\right)\neq0
\]\[
f\left(a\right)=f'\left(a\right)=f''\left(a\right)=f^{\left(3\right)}\left(a\right)=\ldots=f^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0
\]קיימים הגבול והשוויון:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}
\]
5.2 קצב הגידול של פולינומים, פונקציית האקספוננט והלוגריתם הטבעי
משפט 5.5. יהיו \(p,q\in\MKreal\left[x\right]\) שני פולינומים ויהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},b_{0},b_{1},\ldots,b_{m}\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
p\left(x\right) & =a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots+a_{1}\cdot x+a_{0}\\
q\left(x\right) & =b_{m}\cdot x^{m}+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ldots+b_{1}\cdot x+b_{0}
\end{align*}\]נסמן \(j:=\min\left\{ n\geq i\in\MKnatural_{0}\mid a_{i}\neq0\right\} \) ו-\(k:=\min\left\{ m\geq i\in\MKnatural_{0}\mid b_{i}\neq0\right\} \), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
אם \(k<j\) אז \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow0}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0\end{alignedat}
\).
אם \(k=j\) אז \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow0}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{a_{k}}{b_{k}}\end{alignedat}
\).
נניח ש-\(k>j\),
אם \(\MKsign\left(a_{k}\right)=\MKsign\left(b_{j}\right)\) אז \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow0}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\infty\end{alignedat}
\).
אם \(\MKsign\left(a_{k}\right)\neq\MKsign\left(b_{j}\right)\) אז \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow0}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=-\infty\end{alignedat}
\).
הוכחה. כדי להוכיח את שני הסעיפים הראשונים יש לגזור את שני הפולינומים \(k\) פעמים ואז מהמסקנה האחרונה (5.4) או מהפעלת כלל לופיטל \(k\) פעמים נקבל את המבוקש. כדי להוכיח את הסעיף השלישי יש לגזור את שני הפולינומים \(j\) פעמים ולהשתמש בכלל לופיטל בכל גזירה.
משפט 5.6. יהיו \(0<\alpha,\beta\in\MKreal\), מתקיים:\[\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln^{\alpha}\left(x\right)}{x^{\beta}} & =0\\
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{\alpha}}{\exp^{\beta}\left(x\right)} & =0\\
\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\beta}\cdot\ln^{\alpha}\left(x\right) & =0
\end{align*}\]
הוכחה. מכלל לופיטל נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0
\]יהי \(0<c\in\MKreal\), ממשפט ההצבה בגבולות נובע שמתקיים:\[
0=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x^{c}\right)}{x^{c}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{c\cdot\ln\left(x\right)}{x^{c}}
\]מאריתמטיקה של גבולות נובע שאם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{c}}\end{alignedat}
\) לא קיים או שונה מ-\(0\) אז גם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{c\cdot\ln\left(x\right)}{x^{c}}\end{alignedat}
\) לא קיים או שונה מאפס בסתירה למה שהוכח לעיל.\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{c}}=0
\]\(c\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(0<c\in\MKreal\) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{c}}=0
\]יהיו \(0<a,\beta\in\MKreal\), מתקיים \(\frac{\beta}{\alpha}>0\) ולכן גם (לכל \(0<x\in\MKreal\)):\[
\frac{\ln\left(x\right)}{x^{\frac{\beta}{\alpha}}}^{\alpha}=\frac{\ln^{\alpha}\left(x\right)}{x^{\beta}}
\]ממשפט ההצבה בגבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln^{\alpha}\left(x\right)}{x^{\beta}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{\ln\left(x\right)}{x^{\frac{\beta}{\alpha}}}\right)^{\alpha}=\lim_{x\rightarrow0}x^{\alpha}=0
\]מכאן שע"פ משפט ההצבה בגבולות מתקיים גם:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{\alpha}}{\exp^{\beta}\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln^{\alpha}\left(e^{x}\right)}{\left(e^{x}\right)^{\beta}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln^{\alpha}\left(x\right)}{x^{\beta}}=0
\]כדי להוכיח את הפסוק האחרון נשים לב לכך שע"פ כלל לופיטל מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\ln\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\ln\left(x\right)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)^{-1}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}-x=0
\]מכאן שע"פ משפט ההצבה בגבולות מתקיים:\[
0=\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\ln\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\alpha}\cdot\ln\left(x^{\alpha}\right)=\alpha\cdot\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\alpha}\cdot\ln\left(x\right)
\]\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\alpha}\cdot\ln\left(x\right)=0
\]ושוב ממשפט ההצבה בגבולות נקבל:\[
\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\beta}\cdot\ln^{\alpha}\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{\frac{\beta}{\alpha}}\cdot\ln\left(x\right)\right)^{\alpha}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{\alpha}=0
\]
מסקנה 5.7. לכל פולינום \(p\in\MKreal\left[x\right]\) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{p\left(x\right)}{e^{x}}
\]
6 פולינומי טיילור
6.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
יש לנו בעיה, זה נחמד מאד לומר שהנגזרת של \(\sin\) היא \(\cos\) בכל נקודה ושהנגזרת של \(\exp\) היא היא עצמה, אבל אין לנו מושג אלו ערכים הפונקציות הללו מקבלות בנקודות שאינן טריוויאליות (כגון \(\pi\) ו-\(0\)); למעשה הבעיה הזו לא קשורה בכלל לנגזרות - אין לנו מושג כמה שווה \(\sin\left(1\right)\). כאן בא לעזרתנו רעיון יפה: אנחנו יודעים לעבוד היטב עם פולינומים ולחשב את הערך שהם מקבלים בכל נקודה, מה אם נצליח למצוא פולינומים המקרבים את הפונקציות הללו (ואחרות) בכל רמת דיוק שנרצה? אבל למה שזה יעבוד בכלל? כיצד יוכלו פולינומים לקרב פונקציות טריגונומטריות? מה הקשר??? דמיינו שאתם נוסעים במכונית, מה משפיע על המיקום שלה בכל רגע? - המיקום ההתחלתי שלה (הנגזרת ה-\(0\)-ית) והמהירות (הנגזרת הראשונה) שבה נסעה כל אחד מקטעי הדרך, ומה משפיע על המהירות בכל נקודה? - התאוצה (כלומר הנגזרת השנייה). אנחנו לא יכולים למצוא פולינום ש"יסכים" עם הפונקציה על כל הנגזרות בכל נקודה43אחרת היינו מקבלים שהפולינום שווה לפונקציה שאינה פולינומית, בנוסף, אנחנו לא יודעים גם מה הן ערכי הנגזרות בנקודות שאינן טריוויאליות ולכן אפילו אם היה פולינום כזה לא היינו יכולים למצוא אותו מבלי להגיע למצב שכבר איננו זקוקים לו. אבל נוכל למצוא פולינום שיסכים איתה בנקודה אחת על כמות סופית של נגזרות באותה נקודה, מסיבה זו הפתרון אינו מושלם אך אנו נראה שהוא עדיין יעיל מאד ומאפשר לנו לחשב את הערכים שמקבלות פונקציות מסובכות באיזו רמת דיוק שנרצה.
\(\clubsuit\)
מה ששוויון עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\) אומר בעצם הוא ש-\(f\) קרובה ל-\(g\) ב-\(a\) יותר מש-\(\left(x-a\right)^{n}\) קרובה ל-\(0\) ב-\(a\).
\(\clubsuit\)
בתרגול האחרון של אופנר44דניאל אופנר היה המתרגל באינפי' 2 (סמסטר א' תשפ"ג). ראינו שהמשפט הזה מאפשר חישוב גבולות באופן יעיל יחסית: נניח שיש לנו חישוב גבול "מגעיל" למדי, נציג כל פונקציה "מגעילה" \(f\) שנמצאת בגבול כ-\(P_{n,f,a}+R_{n,f,a}\) ואז יתכן שיקל עלינו לחשב את הגבול מפני ש-\(P_{n,f,a}\) הוא פולינום וככזה הוא פונקציה "יפה" ועל \(R_{n,f,a}\) אנחנו יודעים את המשפט הנ"ל. אין פה ממש אלגוריתם אלא רק רעיון ולכן לא יכולתי לכתוב יותר מזה.
סימון:
נסמן ב-\(\MKreal_{\leq n}\left[x\right]\) את קבוצת הפולינומים מעל \(\MKreal\) שהחזקה הגדולה ביותר שלהן קטנה או שווה ל-\(n\).
\(\clubsuit\)
"אם זה נראה כמו פולינום טיילור, הולך כמו פולינום טיילור ומגעגע כמו פולינום טיילור אז זה פולינום טיילור." (רז קופרמן).
סימון:
תהא \(a\in\MKreal\) נקודה, לכל פולינום \(P\in\MKreal\left[x\right]\) מדרגה \(N\in\MKnatural_{0}\) הנתון ע"י45ראינו לעיל שניתן להציג כל פולינום בצורה כזו.:\[
P\left(x\right)=\sum_{k=0}^{N}a_{k}\left(x-a\right)^{k}
\]ולכל \(n\in\MKnatural_{0}\), נסמן ב-\(\left[P\right]_{n,a}\) את ה"קיטוע" של \(P\) ב-\(a\) המוגדר ע"י:\[
\left[P\right]_{n,a}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\min\left\{ n,N\right\} }a_{k}\left(x-a\right)^{k}
\]
\(\clubsuit\)
נשים לב: העובדה שקיים \(\xi\) בקטע הפתוח שבין \(x\) ל-\(a\) המקיים את הנ"ל אינה עוזרת לנו הרבה אם אנחנו לא מסוגלים לחסום את הנגזרת ה-\(n+1\) של \(f\) ב-\(\xi\) אך ורק על בסיס הידיעה אודות מיקומו, במילים אחרות \(\xi\) תלוי ב-\(x\) ולכן מה שקורה כאן הוא שהחלפנו משתנה אחד במשתנה אחר התלוי בו; הדוגמה הקלאסית עבור פונקציה שעבורה צורות השארית הנ"ל אינן עוזרות במאומה היא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י:\[
f\left(x\right)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^{2}}} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{cases}
\]אם נפתח את פולינום טיילור של \(f\) סביב \(0\) נקבל את פולינום האפס והשארית תשאף ל-\(1\) ככל שנתרחק מ-\(0\).
\(\clubsuit\)
את מי מעניין משפט טיילור? ובכן... את כל מי שמשתמש במחשבון! שאלתם את עצמכם כיצד המחשבון יודע כמה שווה \(\sin\left(1\right)\)? הרי לא ייתכן שהוא מחזיק את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל נקודה, אז איך המחשבון עושה זאת? התשובה היא שישנן פונקציות עבורן ניתן לחסום את השארית של פולינום טיילור46כשהוא מפותח סביב נקודה שבה קל לחשב את הנגזרות. בגודל קטן כרצוננו בכל נקודה ובכך לתת את הערך של הפונקציה עד כדי הגודל החוסם את השארית47יתכן כמובן שישנן דרכים טובות יותר שלא הכרנו בקורס זה, אך עבורנו דרך זו מספיקה בהחלט עבור כל הפונקציות האלמנטריות.. בעמוד הבא מופיע חישוב של \(\sin\left(1\right)\) בדיוק של אלפית (דוגמה 6.13).
הגדרה 6.1. פולינום טיילור48ערך בוויקיפדיה: ברוק טיילור. מסדר \(n\) של פונקציה בנקודה תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\). פולינום טיילור מסדר\(n\)של\(f\)בנקודה\(a\) הוא הפולינום/הפונקציה \(P_{n,f,a}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדר/ת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
P_{n,f,a}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot\left(x-a\right)^{k}
\]
הגדרה 6.2. שארית מסדר \(n\) של פונקציה בנקודה תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\). השארית מסדר\(n\)של\(f\)בנקודה\(a\) היא הפונקציה \(R_{n,f,a}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
R_{n,f,a}\left(x\right)=f\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)
\]
הגדרה 6.3. שוויון עד כדי סדר \(n\) של פונקציות בנקודה תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת של \(a\in\MKreal\), נאמר ש-\(f\) ו-\(g\)שוות עד כדי סדר\(n\)בנקודה\(a\) אם:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]
טענה 6.4. שוויון פונקציות עד כדי סדר \(n\) בנקודה הוא יחס שקילות.
למה 6.5. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(P'_{n,f,a}\left(x\right)=P_{n-1,f',a}\left(x\right)\).
הוכחה. מהגדרה ומכללי גזירה נובע שמתקיים לכל \(x\in\MKreal\):\[\begin{align*}
P'_{n,f,a}\left(x\right) & =\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot k\cdot\left(x-a\right)^{k-1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{\left(k-1\right)!}\cdot\left(x-a\right)^{k-1}\\
& =\sum_{k=1}^{n}\frac{f\boldsymbol{{\color{red}'}}^{{\color{red}\left(k-1\right)}}\left(a\right)}{\left(k-1\right)!}\cdot\left(x-a\right)^{k-1}=P_{n-1,f',a}\left(x\right)
\end{align*}\]
משפט 6.6. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), הפולינום \(P_{n,f,a}\) שקול ל-\(f\) ב-\(a\) עד כדי סדר \(n\)-י, כלומר:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]
הוכחה. נוכיח את המשפט באינדוקציה. בסיס האינדוקציה ראינו במשפט 1.2 שאם פונקציה \(g\) גזירה בנקודה \(a\) אז מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)-\left(g'\left(a\right)\cdot x+g\left(a\right)-g'\left(a\right)\cdot a\right)}{x-a}=0
\]אך לכל פונקציה \(g\) כך ש-\(g\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal\) ולכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[
P_{1,g,a}\left(x\right)=g\left(a\right)+g'\left(a\right)\cdot\left(x-a\right)=g'\left(a\right)\cdot x+g\left(a\right)-g'\left(a\right)\cdot a
\]ולכן כבר שם הוכחנו את הנדרש עבור \(n=1\). צעד האינדוקציה יהי \(n\in\MKnatural\) ונניח שלכל פונקציה \(g\) כך ש-\(g\) גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)-P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]תהא \(g\) פונקציה גזירה \(n+1\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), מהנחת האינדוקציה נובע שמתקיים49\(g\) גזירה \(n+1\) פעמים ב-\(a\) ולכן \(g'\) מוגדרת בסביבה של \(a\).:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g'\left(x\right)-P_{n,g',a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]ולכן ע"פ הלמה (6.1) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g'\left(x\right)-P'_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]ומכאן שע"פ כלל לופיטל מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)-P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n+1}}=0
\]
למה 6.7. תהיינה \(f\) ו-\(g\) שתי פונקציות שוות עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\in\MKreal\), לכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{k}}=0
\]
הוכחה. מאריתמטיקה של גבולות נובע שלכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{k}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\cdot\lim_{x\rightarrow a}\left(x-a\right)^{n-k}=0\cdot0=0
\]
טענה 6.8. יהי \(n\in\MKnatural_{0}\) ויהיו \(P,Q\in\MKreal_{\leq n}\left[x\right]\) פולינומים השווים זה לזה עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\in\MKreal\), מתקיים \(P=Q\).
הוכחה. יהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},b_{0},b_{1},\ldots,b_{n}\in\MKreal\) כך שמתקיים50\(a_{n}\) הוא המקדם של החזקה ה-\(n\)-ית ב-\(P\) (יכול להיות שזהו \(0\)), כדי למצוא את \(a_{n-1}\) עלינו לחשב מהו המקדם של החזקה ה-\(n-1\) בביטוי \(a_{n}\left(x-a\right)^{n}\) ואז להגדיר את \(a_{n-1}\) כך שהסכום שלהם יהיה שווה למקדם המקורי, וכן הלאה: כדי למצוא את \(a_{n-2}\) יש לחשב את המקדם של החזקה ה-\(n-2\) בביטוי \(a_{n}\left(x-a\right)^{n}+a_{n-1}\left(x-a\right)^{n-1}\) ולהגדיר את \(a_{n-2}\) בהתאמה...:\[\begin{align*}
P\left(x\right) & =a_{n}\left(x-a\right)^{n}+a_{n-1}\left(x-a\right)^{n-1}+\ldots+a_{1}\left(x-a\right)+a_{0}\\
Q\left(x\right) & =b_{n}\left(x-a\right)^{n}+b_{n-1}\left(x-a\right)^{n-1}+\ldots+b_{1}\left(x-a\right)+b_{0}
\end{align*}\]כעת נוכיח באינדוקציה שלכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{k}=b_{k}\). בסיס האינדוקציה נתון כי:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{P\left(x\right)-Q\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]ומכאן שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\left(P\left(x\right)-Q\left(x\right)\right)=0
\]כלומר (ע"פ אריתמטיקה של גבולות):\[\begin{align*}
0 & =\lim_{x\rightarrow a}\left(\sum_{j=0}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\left(x-a\right)^{j}\right)=\sum_{j=0}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\left(\lim_{x\rightarrow a}\left(x-a\right)^{j}\right)\\
& =\left(a_{0}-b_{0}\right)\cdot1+\sum_{j=1}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\cdot0=a_{0}-b_{0}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow a_{0}=b_{0}
\]צעד האינדוקציה יהי \(n\geq k\in\MKnatural\) ונניח כי לכל \(k>j\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(a_{j}=b_{j}\), מכאן שע"פ הלמה (6.3) ואריתמטיקה של גבולות מתקיים:\[\begin{align*}
0 & =\lim_{x\rightarrow a}\frac{P\left(x\right)-Q\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{k}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sum_{j=k}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\left(x-a\right)^{j}}{\left(x-a\right)^{k}}=\lim_{x\rightarrow a}\left(\sum_{j=k}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\left(x-a\right)^{j-k}\right)\\
& =\sum_{j=k}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\left(\lim_{x\rightarrow a}\left(x-a\right)^{j-k}\right)=\left(a_{k}-b_{k}\right)\cdot1+\sum_{j=k+1}^{n}\left(a_{j}-b_{j}\right)\cdot0=a_{k}-b_{k}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow a_{k}=b_{k}
\]
מסקנה 6.9. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\) ויהי \(Q\in\MKreal_{\leq n}\left[x\right]\) כך ש-\(Q\) שווה ל-\(P_{f,n,a}\) עד כדי סדר \(n\) ב-\(a\), מתקיים \(Q=P_{n,f,a}\); בפרט, לכל פולינום \(g\in\MKreal\left[x\right]\) מדרגה \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(g=P_{n,g,a}\) לכל \(a\in\MKreal\).
משפט 6.10. תהיינה \(f,g\) פונקציות גזירות \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), מכאן ש-\(P_{n.f+g,a}=P_{n,f,a}+P_{n,g,a}\).
הוכחה. המשפט נובע ישירות מהגדרת פולינום טיילור ומכלל הגזירה לסכום של שתי פונקציות:\[\begin{align*}
P_{n.f+g,a}\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(f+g\right)^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot\left(x-a\right)^{k}=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)+g^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot\left(x-a\right)^{k}\\
& =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot\left(x-a\right)^{k}+\sum_{k=0}^{n}\frac{g^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\cdot\left(x-a\right)^{k}=P_{n,f,a}\left(x\right)+P_{n,g,a}\left(x\right)
\end{align*}\]
למה 6.11. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), יהי \(N\in\MKnatural\) ויהי \(Q\in\MKreal_{\leq N}\left[x\right]\), אם \(f\) שווה ל-\(Q\) עד כדי סדר \(n\) ב-\(a\) אז \(\left[Q\right]_{n,a}=P_{n,f,a}\).
הוכחה. יהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{N}\in\MKreal\) כך ש-\(Q\left(x\right)=\sum_{k=0}^{N}a_{k}\cdot\left(x-a\right)^{k}\), נשים לב לכך שמתקיים51ייתכן שמדובר בסכום ריק (אם \(N<n+1\)) אך אין זה משנה לענייננו.:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{Q\left(x\right)-\left[Q\right]_{n,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sum_{k=n+1}^{N}a_{k}\cdot\left(x-a\right)^{k}}{\left(x-a\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow a}\left(\sum_{k=n+1}^{N}a_{k}\cdot\left(x-a\right)^{k-n}\right)=0
\]כלומר \(Q\) ו-\(\left[Q\right]_{n,a}\) שווים זה לזה עד כדי כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\) ולכן מהטרנזיטיביות של השוויון עד כדי סדר \(n\) בנקודה נובע ש-\(\left[Q\right]_{n,a}\) שווה ל-\(f\) עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\). מכאן שע"פ מסקנה 6.5 מתקיים \(\left[Q\right]_{n,a}=P_{n,f,a}\).
משפט 6.12. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות גזירות \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal\), מתקיים: \(P_{n.f\cdot g,a}=\left[P_{n,f,a}\cdot P_{n,g,a}\right]_{n,a}\).
הוכחה. לכל \(a\neq x\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\frac{\left(f\cdot g\right)\left(x\right)-\left(P_{n,f,a}\cdot P_{n,g,a}\right)\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}} & =\frac{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)\cdot P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\\
& =\frac{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot P_{n,g,a}\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot P_{n,g,a}\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)\cdot P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\\
& =f\left(x\right)\cdot\frac{g\left(x\right)-P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}+P_{n,g,a}\left(x\right)\cdot\frac{f\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}
\end{align*}\]מכאן שע"פ אריתמטיקה של גבולות מתקיים:\[\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left(f\cdot g\right)\left(x\right)-\left(P_{n,f,a}\cdot P_{n,g,a}\right)\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}} & =\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\cdot\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(x\right)-P_{n,g,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}+\lim_{x\rightarrow a}P_{n,g,a}\left(x\right)\cdot\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-P_{n,f,a}\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\\
& =f\left(a\right)\cdot0+g\left(a\right)\cdot0=0
\end{align*}\]כלומר \(P_{n,f,a}\cdot P_{n,g,a}\) שווה ל-\(f\cdot g\) עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\) ולכן מהלמה (6.7) נובע שמתקיים \(P_{n.f\cdot g,a}=\left[P_{n,f,a}\cdot P_{n,g,a}\right]_{n,a}\).
משפט 6.13. 52משפט זה נלמד אצל יורם. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\) כך שקיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(a\) כך ש-\(f\left(x\right)\neq f\left(a\right)\) לכל \(x\in U\), ותהא \(g\) פונקציה הגזירה \(n\) פעמים ב-\(f\left(a\right)\); מתקיים:\[
P_{n,g\circ f,a}=\left[P_{n,g,f\left(a\right)}\circ P_{n,f,a}\right]_{n,a}
\]
הוכחה. יהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
P_{n,g,f\left(a\right)}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot\left(x-f\left(a\right)\right)^{k}
\]ונסמן \(F:=P_{n,f,a}\) ו-\(G:=P_{n,g,f\left(a\right)}\). לכל \(x\in U\) מתקיים:\[\begin{align*}
\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}} & =\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)+G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\\
& =\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}+\frac{G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}
\end{align*}\]נטפל בכל אחד מן המחוברים בנפרד.
לכל \(x\in U\) מתקיים53כאן אנו משתמשים בעובדה ש-\(f\left(x\right)\neq f\left(a\right)\) לכל \(x\in U\).:\[\begin{align*}
\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}} & =\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{n}}\cdot\frac{\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{n}}{\left(x-a\right)^{n}}\\
& =\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{n}}\cdot\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\right)^{n}
\end{align*}\]ממשפט 6.2 וממשפט ההצבה בגבולות54אנו משתמשים כאן במשפט ההצבה בגבולות עבור פונקציות שאינן רציפות ולשם כך דרשנו ש-\(f\left(x\right)\neq f\left(a\right)\) בסביבה מנוקבת של \(a\). נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{n}}=\lim_{y\rightarrow f\left(a\right)}\frac{g\left(y\right)-G\left(y\right)}{\left(y-f\left(a\right)\right)^{n}}=0
\]וכמו כן מהגדרת הנגזרת וממשפט ההצבה בגבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\right)^{n}=\left(f'\left(a\right)\right)^{n}
\]\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{n}}\cdot\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\right)^{n}=0\cdot\left(f'\left(a\right)\right)^{n}=0
\]
לכל \(x\in U\) מתקיים:\[\begin{align*}
G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right) & =\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot\left[\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k}-\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k}\right]\\
& =\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\left[\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)-\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)\right]\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left[\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right]\right)\\
& =\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\left(f\left(x\right)-F\left(x\right)\right)\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right)\\
& =\left(f\left(x\right)-F\left(x\right)\right)\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right)
\end{align*}\]מכאן שלכל \(x\in U\) מתקיים גם:\[
\frac{G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=\frac{f\left(x\right)-F\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right)
\]ממשפט 6.2 נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-F\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0
\]ומאריתמטיקה של רציפות נובע נובע שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right)=0
\]\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-F\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}\cdot\lim_{x\rightarrow a}\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot\sum_{j=0}^{k-1}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{j}\cdot\left(F\left(x\right)-f\left(a\right)\right)^{k-1-j}\right)=0\cdot0=0
\]
הוכחה. לפיכך ניתן לומר כעת שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-P_{n,g,a}\left(P_{n,f,a}\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(f\left(x\right)\right)-G\left(f\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}+\lim_{x\rightarrow a}\frac{G\left(f\left(x\right)\right)-G\left(F\left(x\right)\right)}{\left(x-a\right)^{n}}=0+0=0
\]כלומר \(g\circ f\) שווה ל-\(P_{n,g,a}\circ P_{n,f,a}\) עד כדי סדר \(n\) בנקודה \(a\) ולכן מלמה 6.7 נובע שמתקיים \(P_{n,g\circ f,a}=\left[P_{n,g,f\left(a\right)}\circ P_{n,f,a}\right]_{n,a}\).
משפט 6.15. משפט טיילור55ערך בוויקיפדיה: ברוק טיילור. יהי \(a\in\MKreal\) ותהא \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה \(n+1\) פעמים בסביבה מלאה \(U\)56זו יכולה להיות גם סביבה מלאה חד-צדדית ואז הנגזרות ב-\(a\) הן חד-צדדיות. של \(a\)57יש צורך בנגזרת ה-\(n+1\) רק עבור סביבה מנוקבת של \(a\)., יהי \(a\neq x\in U\); קיימת נקודה \(\xi\) בקטע הפתוח שבין \(a\) ל-\(x\) כך שניתן להציג את \(R_{n,f,a}\left(x\right)\) בשתי הצורות הבאות:
צורת לגראנז'-\[
R_{n,f,a}\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\cdot\left(x-a\right)^{n+1}
\]
צורת קושי-\[
R_{n,f,a}\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n}\cdot\left(x-a\right)
\]
הוכחה. העובדה ש-\(f\) גזירה \(n+1\) פעמים ב-\(U\) אומרת שניתן לפתח את פולינום טיילור מסדר \(n\) של \(f\) סביב כל נקודה \(z\in U\) וש-\(f^{\left(n\right)}\) גזירה ורציפה ב-\(U\). נסמן ב-\(I_{c}\) את הקטע הסגור שבין \(x\) ל-\(a\) וב-\(I_{o}\) את הקטע הפתוח המתאים. תהא \(\phi:I_{c}\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(z\in I\))58שימו לב שכאן \(x\) קבוע (זהו ה-\(x\) הנזכר לעיל) ו-\(z\) הוא המשתנה.:\[
\phi\left(z\right):=R_{n,f,z}\left(x\right)=f\left(x\right)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{k!}\cdot\left(x-z\right)^{k}
\]מכאן שע"פ כלל לייבניץ לכל \(z\in I_{c}\) מתקיים59השוויון האחרון נובע מהעובדה שמדובר ב"סכום טלסקופי".:\[\begin{align*}
\phi'\left(z\right) & =-f'\left(z\right)-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{f^{\left(k+1\right)}\left(z\right)}{k!}\cdot\left(x-z\right)^{k}-\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{k!}\cdot k\cdot\left(x-z\right)^{k-1}\right)\\
& =-f'\left(z\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{\left(k-1\right)!}\cdot\left(x-z\right)^{k-1}-\frac{f^{\left(k+1\right)}\left(z\right)}{k!}\cdot\left(x-z\right)^{k}\right)\\
& ={\color{red}-f'\left(z\right)+\frac{f^{\left(1\right)}\left(z\right)}{\left(1-1\right)!}\cdot\left(x-z\right)^{1-1}}-\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(z\right)}{n!}\cdot\left(x-z\right)^{n}\\
& ={\color{red}0}-\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(z\right)}{n!}\cdot\left(x-z\right)^{n}=-\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(z\right)}{n!}\cdot\left(x-z\right)^{n}
\end{align*}\]
תהא \(\psi:I_{c}\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה על \(I_{c}\) וגזירה ב-\(I_{o}\) כך שנגזרתה אינה מתאפסת בקטע הפתוח, נשים לב שגם \(\phi\) רציפה על \(I_{c}\) וגזירה ב-\(I_{o}\) ולכן ממשפט הערך הממוצע של קושי קיים \(\xi\in I_{o}\) כך שמתקיים:\[
\frac{\phi\left(a\right)-\phi\left(x\right)}{\psi\left(a\right)-\psi\left(x\right)}=\frac{\phi'\left(\xi\right)}{\psi'\left(\xi\right)}
\]
כעת נשים לב לכך שמהגדרה מתקיים:\[\begin{align*}
\phi\left(a\right) & =R_{n,f,a}\left(x\right)\\
\phi\left(x\right) & =R_{n,f,x}\left(x\right)=0
\end{align*}\]ולכן עבור אותו \(\xi\) מתקיים:\[
\frac{R_{n,f,a}\left(x\right)-0}{\psi\left(a\right)-\psi\left(x\right)}=\frac{\phi\left(a\right)-\phi\left(x\right)}{\psi\left(a\right)-\psi\left(x\right)}=\frac{{\color{blue}\phi'\left(\xi\right)}}{\psi'\left(\xi\right)}={\color{blue}-\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n}}\cdot\frac{1}{\psi'\left(\xi\right)}
\]\[
\Rightarrow R_{n,f,a}\left(x\right)={\color{red}-}\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n}\cdot\frac{{\color{red}\psi\left(a\right)-\psi\left(x\right)}}{\psi'\left(\xi\right)}
\]\[
\Rightarrow R_{n,f,a}\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n}\cdot\frac{{\color{red}\psi\left(x\right)-\psi\left(a\right)}}{\psi'\left(\xi\right)}
\]כל זה נכון לכל פונקציה \(\psi:I_{c}\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(\psi\) רציפה על \(I_{c}\), גזירה ב-\(I_{o}\) ושנגזרתה אינה מתאפסת בקטע הפתוח; בפרט כל זה נכון עבור עבור פונקציות מהצורה \(\psi\left(z\right)=\left(x-z\right)^{p}\) עבור \(p\in\MKinteger\)60ברגע שנעבור לחזקה רציונלית או ממשית נצטרך לדאוג ש-\(x-z\) יהיה אי-שלילי. כלשהו, א"כ לכל \(p\in\MKinteger\) מתקיים:\[\begin{align*}
R_{n,f,a}\left(x\right) & =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot{\color{blue}\left(x-\xi\right)^{n}}\cdot\frac{\left(x-x\right)^{p}{\color{red}-}\left(x-a\right)^{p}}{{\color{red}-}p\cdot{\color{blue}\left(x-\xi\right)^{p-1}}}\\
& =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{p\cdot n!}\cdot{\color{blue}\left(x-\xi\right)^{n+1-p}}\cdot\left(x-a\right)^{p}
\end{align*}\]אם נציב \(p=n+1\) נקבל את השארית בצורת לגראנז':\[\begin{align*}
R_{n,f,a}\left(x\right) & =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)\cdot n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n+1-n+1}\cdot\left(x-a\right)^{n+1}\\
& =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\cdot\left(x-a\right)^{n+1}
\end{align*}\]ואם נציב \(p=1\) נקבל את השארית בצורת קושי:\[\begin{align*}
R_{n,f,a}\left(x\right) & =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{1\cdot n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n+1-1}\cdot\left(x-a\right)^{1}\\
& =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{n!}\cdot\left(x-\xi\right)^{n}\cdot\left(x-a\right)
\end{align*}\]
טענה 6.16. \(e\) אינו רציונלי.
הוכחה. נניח בשלילה ש-\(e\) רציונלי ויהיו \(p,q\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{p}{q}=e\). נסמן \(n:=\max\left\{ 3,q\right\} \), מהגדרת השארית מתקיים:\[
\frac{p}{q}=e=\exp\left(1\right)=P_{n,\exp,0}\left(1\right)+R_{n,\exp,0}\left(1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+R_{n,\exp,0}\left(1\right)
\]\[
\Rightarrow\frac{n!\cdot p}{q}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}+n!\cdot R_{n,\exp,0}\left(1\right)
\]כעת נזכור ש-\(n\geq q\) ולכן \(\frac{n!\cdot p}{q}\in\MKnatural\), מאותה סיבה גם \(\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\in\MKnatural\) ומכאן ש-\(n!\cdot R_{n,\exp,0}\left(1\right)\in\MKinteger\). ממשפט טיילור (בצורת לגראנז') נובע שקיים \(\xi\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים:\[
R_{n,\exp,0}\left(1\right)=\frac{\exp^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\cdot1^{n+1}=\frac{\exp\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}
\]אבל לכל \(\xi\in\left(0,1\right)\) מתקיים:\[
0<\frac{\exp\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}<\frac{\exp\left(1\right)}{\left(n+1\right)!}=\frac{e}{\left(n+1\right)!}<\frac{3}{\left(n+1\right)!}
\]ולכן:\[
0<n!\cdot R_{n,\exp,0}\left(1\right)<\frac{n!\cdot3}{\left(n+1\right)!}=\frac{3}{n+1}\leq\frac{3}{3+1}<1
\]בסתירה לכך ש-\(n!\cdot R_{n,\exp,0}\left(1\right)\in\MKinteger\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(e\) אי-רציונלי.
דוגמה 6.17. חישוב של \(\sin\left(1\right)\) עד כדי דיוק של אלפית פולינום טיילור של \(\sin\) מסדר \(n\) סביב \(0\) הוא:\[
\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\cdot x^{2k+1}
\]אנחנו יודעים שלכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\left|\sin^{\left(n\right)}\left(x\right)\right|\leq1\) ולכן לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(x\in\MKreal\) מתקיים (עבור \(\xi\) כלשהו בקטע הפתוח המתאים):\[
\left|R_{n,\sin,0}\left(x\right)\right|=\left|\frac{\sin^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\cdot\left(x-0\right)^{n+1}\right|\leq\frac{\left|x^{n+1}\right|}{\left(n+1\right)!}=\frac{\left|x\right|^{n+1}}{\left(n+1\right)!}
\]לכן אם נרצה לחשב את הערך שמקבלת \(\sin\) ב-\(x\) עד כדי \(10^{-m}\) עלינו למצוא \(n\in\MKnatural\) שעבורו מתקיים:\[
\frac{\left|x\right|^{n+1}}{\left(n+1\right)!}\leq10^{-m}
\]לדוגמה, נרצה לחשב את \(\sin\left(1\right)\) (זה מזכיר לכם משהו?) עד כדי \(10^{-3}\), אנחנו יודעים שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|1\right|^{n+1}=1\). נשים לב שמתקיים \(7!=5,040\) וא"כ נקבל:\[
\frac{\left|1\right|^{7}}{7!}\leq\frac{1}{5,040}<10^{-3}
\]ולכן יספיק לנו \(n=6\).\[
\Rightarrow\left|\sin\left(1\right)-\sum_{k=0}^{3}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\right|=\left|\sin\left(1\right)-\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{6+1}{2}\right\rfloor }\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\cdot\left(1\right)^{2k+1}\right|<10^{-3}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\sin\left(1\right) & \approx\sum_{k=0}^{3}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}=\frac{\left(-1\right)^{0}}{\left(2\cdot0+1\right)!}+\frac{\left(-1\right)^{1}}{\left(2\cdot1+1\right)!}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{\left(2\cdot2+1\right)!}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{\left(2\cdot3+1\right)!}\\
& =\frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}=\frac{7!-4\cdot5\cdot6\cdot7+6\cdot7-1}{7!}\\
& =\frac{5,040-840+42-1}{5,040}=\frac{4,200+41}{5,040}=\frac{4,241}{5,040}
\end{align*}\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );